CALCULO II

ETAPA 3

Aplicações da Derivada.

Esta atividade é importante para que você saiba utilizar técnicas de cálculo, que se aplicam a uma grande variedade de problemas da vida real. Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

Passo 1

Faça a leitura do capítulo 4 – seção 4.1 do PLT, pesquise e elabore um texto explicativo sobre máximos locais, mínimos locais e pontos de inflexão de uma determinada função.

R: Para obter pontos de Maximo ou de mínimo de uma função, basta construir gráficos das funções e identificar tais pontos. O problema é a dificuldade em construir gráficos de muitas funções, razão pela qual, utilizamos as derivadas das funções para facilitar nossas vidas.

Passo 2

Analise a função f(x)=2x³ – 18x² + 30x + 40 , cujo domínio é o conjunto de todos os reais, utilizando a primeira derivada para determinar o(s) ponto(s) crítico(s), se existir(em), indicando onde a função f é crescente ou decrescente e o(s) ponto(s) de máximo(s) ou mínimo(s) local(is) e a segunda derivada para determinar o(s) ponto(s) de inflexão, se existir(em), e o estudo da concavidade em relação a esse ponto.

Temos:

f'(x) = 6x²-36x+30 = 0 ⇔ x²-6x+5 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 5

f''(x)

= 12x-36 ⇔ f''(1) = -24 ∧ f''(5) = 24

f''(x) = 12x-36 = 0 ⇔ x = 3

f'''(x) = 12 ⇔ f'''(3) = 12

f'(x) > 0 ⇔ x²-6x+5 > 0 ⇔ x > 5 ∨ x < 1

f'(x) < 0 ⇔ x²-6x+5 < 0 ⇔ 1 < x < 5

f''(x) > 0 ⇔ 12x-36 > 0 ⇔ x > 3

f''(x) < 0 ⇔ 12x-36 < 0 ⇔ x < 3

Portanto, diante desses resultados, concluímos que x = 1 é ponto de máximo local, x = 5 é ponto de mínimo local, x = 3 é ponto de inflexão, f é decrescente em ]1,5[, f é crescente em ]-∞,1[ U ]5,+∞[, f tem concavidade positiva em ]3,+∞[ e f tem concavidade negativa em ]-∞,3[.

Passo 3

Com as informações obtidas do passo 2 construa o esboço do gráfico da função de f(x), determinando os valores da função nos pontos encontrados, bem como o momento em que o gráfico corta o eixo y.

ETAPA 4

Essa etapa é importante para que o aluno compreenda que uma das mais importantes aplicações do conceito da derivada está nos problemas de otimização e modelagem, nos quais uma quantidade deve ser maximizada ou minimizada. Problemas esses que são presentes em várias áreas da vida. Para realizá-la, é importante seguir os passos descritos.

Passo 1

Faça a leitura do capítulo 4 – seções 4.3 e 4.5 do PLT e resolva

o problema da caixa abaixo, determinando as dimensões