Calculo II

ENGENHARIA CONTROLE E AUTOMAÇÃO/MECANICA – 3ºB

CALCULO II – EDUARDO JESUS TAVARES

CONCEITO DE DERIVADA E REGRAS DE DERIVAÇÃO

ALEX MARTINS GALAN RA: 4662899244

ALEX MENDES RIBEIRO RA: 4201778430

WILLIAN HENRIQUE DE LUCCAS RA: 4201778455

GÊNESES GOMES BATISTA RA: 3704599473

RAFAEL JACOB DA SILVA RA: 4461908692

WILIAN DUARTE PEREIRA RA: 4201773159

WILSON SANTOS RIBEIRO RA: 4440884075

VALDEIR COSTA RODRIGUES RA: 4440883454

WESLEY MARCOS DO CARMO RA: 7023521275

MATÃO, 08 DE ABRIL DE 2013

Introdução

Neste trabalho começaremos na etapa 1 a estudar o conceito de velocidade instantânea e aceleração instantânea, estaremos aplicando a derivada nas equações do espaço e da velocidade e mostraremos como a matemática está ligada a física. Iremos terminar na etapa 2 com um aprofundamento na constante de Euler, que trata-se de um número irracional conhecido como “℮”, em homenagem ao grande matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783). Essa constante tem uma relação muito grande com a música e com uma PG.

Etapa 1 Passo 1

Quando um carro percorre uma trajetória de 100m em 20s, temos o espaço e o tempo gasto pelo veículo, a partir desses dados poderemos extrair a velocidade média, porém pode acontecer de em alguns momentos o carro andar mais rápido ou mais devagar. Para sabermos a velocidade mais exata possível em um determinado ponto, precisaremos diminuir ao máximo o intervalo de tempo, daí extraímos o que chamamos de velocidade instantânea. A velocidade instantânea é igual ao valor limite de velocidades médias em intervalos de tempo cada vez menores.

Esse limite (lim) define a derivada da posição com relação ao tempo, ou seja, a velocidade instantânea num dado instante é a derivada com relação ao tempo da função que descreve a posição da partícula neste dado instante. Logo, a velocidade instantânea num dado instante t0 é expressa por:

Vamos derivar a equação do espaço para obter a equação da velocidade instantânea. Função do espaço: Função da velocidade instantânea:

f(∆s)=So+Vo.t+at²/2

f'(∆s)=V=Vo+at

f^'' (∆s)=V^'=a

Exemplo da função velocidade como derivada da função espaço ∑ do último algarismo dos RA’s = 37 Aceleração

t=0 à 5s | Vo=0m/s | a=37m/s² | V=0+37*0 à 5 | V=185m/s

Passo 2

Estudo da variação da velocidade pelo tempo t=0 a 5s V0=0m/s a=37m/s² V=0+37*t

V=0+37*t

t=0 V= 0 m/s

t=1 V= 37 m/s

t=2 V= 74 m/s

t=3 V= 111 m/s

t=4 V= 148 m/s

t=5 V=185m/s

∆s=So+Vo.t+at²/2

t=0 0

t=1s 18,5m

t=2s 74m

t=3s 166,5m

t=4s 296m

t=5s 462,5

Passo 3

Quando a velocidade de uma partícula varia diz-se que a partícula sofre aceleração, para sabemos como ela esta variando pegamos a sua velocidade e a derivamos em relação ao tempo sendo: a= dvdt, pois a aceleração da partícula em qualquer instante é a taxa na qual sua velocidade está mudando naquele instante. Graficamente, a aceleração em qualquer ponto é a inclinação da curva de v(t) naquele ponto. Em palavras, a aceleração de uma partícula em qualquer instante é dada pela derivada segunda de sua posição x(t) em relação ao tempo a= dxdt= ddt dxdt= d²xdt². Derivando velocidade em relação ao tempo: a= dvdt 37t-2 → a= 37.1t1-1 → a=37

Passo 4

 

Etapa 2 Passo 1

A constante foi definida pela primeira vez pelo matemático suíço Leonhard Euler no artigo De Progressionibusharmonicusobservationes, publicado em 1735. Euler usou a notação C para a constante, e inicialmente calculou seu valor até 6 casas decimais. Em 1761 Euler estendeu seus cálculos, publicando um valor com 16 casas decimais. Em 1790 o matemático italiano Lorenzo Mascheroni introduziu a notação γ para a constante, e tentou estender o cálculo de Euler ainda mais, a 32 casas decimais, apesar de cálculos subseqüentes terem mostrado que ele cometera erros na 20°, 22° e 32 casas decimais. (Do 20° dígito, Mascheroni calculou 1811209008239.) (Wikipédia, 24/03/2012). Não se sabe se a constante de Euler-Mascheroni é ou não um número racional. No entanto, análises mostram que se γ for racional, seu denominador tem mais do que 10242080 dígitos (Havil, page 97). Em 1736, quando publicou o seu livro Mechanica, onde a dinâmica de Newton (1642-1727) foi apresentada de forma analítica, foi impresso pela primeira vez o número