Calculo II

Curso: Engenharia Mecânica

Disciplina: Calculo II

Professor: Daiane Roza

Alunos

Nome: Marcos Fabricio Tavares RA: 1158383918

Nome: Raphael Felipe Schiavinato Pugliesi RA: 1157379636

Nome: Regio Sbroion Hipólito RA: 1139323540

Nome: Tsung Hsien Huang RA: 1107295222

Nome: Wellington Pedro dos Santos RA: 1107294348

ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS

Ribeirão Preto 09 Abril de 2012.

ETAPA 1

Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivação.

Esta atividade é importante para que você possa verificar a aplicação da derivada inserida em conceitos básicos da física. A noção intuitiva de movimento, velocidade, aceleração é algo intrínseco a todos, já que é algo natural. No entanto, quando visto sob um olhar crítico científico, pode se observar as leis da física, em que as operações matemáticas e regras de derivação básica estão intimamente ligadas a essas leis.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

1 Consulte o Manual para Elaboração de Trabalhos Acadêmicos. Unianhanguera. Disponível em: <http://www.unianhanguera.edu.br/anhanguera/bibliotecas/normas_bibliograficas/index.html>.

Passo 1.1

Pesquisar o conceito de velocidade instantânea a partir do limite, com

Comparar a fórmula aplicada na física com a fórmula usada em cálculo e explicar o significado da função v (velocidade instantânea), a partir da função s (espaço), utilizando o conceito da derivada que você aprendeu em cálculo, mostrando que a função velocidade é a derivada da função espaço.

Dar um exemplo, mostrando a função velocidade como derivada da função do espaço,

utilizando no seu exemplo a aceleração como sendo a somatória do último algarismo que compõe o RA dos alunos integrantes do grupo.

Bibliografia complementar

• HALLIDAY, David; RESNICK, Robert. Física I. 7 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.

Sites sugeridos para pesquisa

• Velocidade Instantânea. Disponível em:

<https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0B9WAT

R68YYLOMmJlM2RmNmItOGRiMy00ZWU1LTg4YTctODEzMWJmMDg4MzAy&hl=pt_BR>. Acesso: em 03 out. 2011

Resposta Passo 1.1:

A função horária do espaço, s = f(t), nos fornece a posição do móvel sobre a trajetória em qualquer instante do movimento. Derivando essa função em relação ao tempo, obtemos a função horária da velocidade escalar v = f`(t), que nos permite conhecer o valor da velocidade escalar em qualquer instante do movimento, ou em um determinado ponto da trajetória. Derivando em relação ao tempo a função horária da velocidade, v = f`(t), obtemos a função horária da aceleração, a = f''(t), que nos permite conhecer o valor da aceleração escalar em um certo instante do movimento, ou em um determinado ponto da trajetória.

s = f(t)

v = Δs/Δt

v = f'(t)

a = Δs/Δt

a = f''(t)

vm = Δs/Δt am = Δv/Δt, portanto para velocidade instantânea definimos como o limite da relação entre o espaço percorrido em um intervalo de tempo, onde este último tende a zero. Quando se considera um intervalo de tempo que não tende a zero, a velocidade é considerada média. A velocidade instantânea pode ser entendida como a velocidade de um corpo no exato instante escolhido (limite tendendo a zero). No movimento retilíneo uniforme, a velocidade instantânea coincide com a média em todos os instantes.

Devemos adotar a seguinte fórmula:

Derivando obtemos:

Com a derivação da fórmula acima podemos calcular a velocidade de um objeto a partir do gráfico Espaço(s) x Tempo(t), fornecendo assim, a inclinação da reta tangente ao ponto na curva correspondente, sendo essa a velocidade instantânea.

Exemplo: Em S = s0 + v0t + a.t2/2, onde s0=2, v0=6 e a = 24 (somatória dos RA’s), obtemos o seguinte cálculo:

S= 2 + 6t + 12t2

Derivando para velocidade,

v = s’(t) = 24t + 6

Passo 1.2

Montar uma tabela, usando seu exemplo acima, com os cálculos e plote num gráfico as funções S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s) para um intervalo entre 0 a 5s, diga que tipo de função você tem e calcular a variação do espaço percorrido e a variação de velocidade para o intervalo dado.

Calcular a área formada pela função da velocidade, para o intervalo dado acima.

Resposta Passo 1.2:

Tabela Passo 1.2

S= 2 + 6t + 12t2 v = s’(t) = 24t + 6

intervalo em segundos (s) Variação do espaço Variação da Velocidade

0,5 8 m 18 m/s

1 20 m 30 m/s

2 62 m 54 m/s

3 128 m 78 m/s

4 218 m 102 m/s

5 332 m 126 m/s

Grafico em função S(m) x t(s):

Calcular área do gráfico:

Grafico em função V(m/s) x t(s):

Calcular área do gráfico:

Passo 1.3

Pesquisar sobre a aceleração instantânea de um corpo móvel, que define a aceleração como sendo a derivada da função velocidade. Explicar o significado da aceleração

instantânea a partir da função s (espaço), mostrando que é a aceleração é a derivada segunda. Utilizar o exemplo do Passo 1 e mostrar quem é a sua aceleração a partir do conceito de derivação aplicada a sua função espaço e função velocidade.

Bibliografia complementar

• HALLIDAY, David; RESNICK, Robert. Física I. 7 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.

Resposta Passo 1.3:

A aceleração é a derivada da velocidade com relação ao tempo, derivando obtemos:

Derivando para aceleração,

a = s’’(t) = 24

Passo 1.4

Plotar num gráfico sua função a(m/s2) x t(s) para um intervalo de 0 a 5 segundos e dizer que tipo de função você tem.

Calcular a área formada pela função aceleração para o intervalo dado acima e comparar o resultado obtido com o cálculo da variação de velocidade realizado no passo 2, subitem 2.1 e fazer uma análise a esse respeito.

ETAPA 2

Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivação.

Esta atividade é importante para que você possa verificar a aplicação da derivada inserida em situações relacionadas às várias áreas como física, biologia, música etc. Uma observação mais aprofundada sobre o conceito de derivação e um olhar mais amplo sobre a constante de Euler, que é muito usada, mas que muitas vezes assumi um papel oculto dentro do próprio cálculo matemático e que por sua vez está intrinsecamente ligado a vários fenômenos naturais. Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

Passo 2.1

O que é a Constante de Euler?

Trata-se de um número irracional, conhecido como “e”. Foi atribuido a este número a notação “e”, em homenagem ao matemático suiço Leonhard Euler (1707-1783), visto ter sido ele um dos primeiros a estudar as propriedades desse número. Podemos expressar esse número com 40 dígitos decimais, ou seja:

e = 2,718281828459045235360287471352662497757

Pesquisar mais sobre a constante de Euler e fazer um resumo sobre esse assunto de pelo menos uma página, constando dos dados principais a respeito do assunto e curiosidades. Existem inúmeros sites na internet que traz informações ricas sobre esse assunto.

Abaixo deixamos alguns para que possa ser pesquisado, além do Wikipédia. Construir uma tabela com os cálculos e resultados aplicados na fórmula abaixo, utilizando os seguintes valores para n = {1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, 5000, 10000, 100000, 1000000}, esboçar um gráfico representativo e fazer uma conclusão a respeito.

Sites sugeridos para pesquisa

• Constante deEuler, 2011. Disponível em:

<https://docs.google.com/document/d/1Roj1Nw6US3sYZ7HKfSAKvbrBK4cIkh7AAZvZ_UC1rOU/edit?hl=pt_BR>. Acesso em: 03 out. 2011.

• Funções Exponenciais. 2011. Disponível em:

<https://docs.google.com/document/d/1Iffm3MwYq7kJl3NDM5K1jrqb7IYkeP8ETdagh2FKVHc/edit?hl=pt_BR>. Acesso em: 03 out. 2011.

Resposta Passo 2.1:

A constante de Euler-Mascheroni é uma constante matemática com múltiplas utilizações em Teoria dos números. Ela é definida como o limite da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural.

que pode ser condensada assim :

em que E(x) é a parte inteira de x.

A demonstração da existência de um tal limite pode ser feita pela aplicação do método da comparação série-integral.

As aplicações da constante incluem sua relação com a função gama e a fórmula da reflexão de Euler, além da relação com a funço zeta de Riemann e com integrais e integrações impróprias da função exponencial para determinados valores de .

Segue tabela de acréscimo de dígitos:

Tabela com os calculus:

Passo 2.2

Pesquisar sobre “séries harmônicas” na música, na matemática e na física e sobre somatória infinita de uma PG. Fazer um relatório resumo com as principais informações sobre o assunto de pelo menos 1 página e explicar como a Constante de Euler se

relaciona com série harmônica e com uma PG, mostrando as similaridades e as diferenças.

Sites sugeridos para pesquisa

• Série Harmônica Wikipedia, 2011. Disponível em:

<https://docs.google.com/leaf?id=0B9WATR68YYLOYjlhMzdiY2UtZWM0ZS00NDU2LTlhMTItZWZkY2U4YWI5ZDli&hl=pt_BR>. Acesso em: 03 out. 2011.

• Série Harmônica Matemática, 2011. Disponível em:

<https://docs.google.com/document/d/16FTUKsbSY13FTiOuPnOvKRlotcajgbPeYr_bFD17taU/edit?hl=pt_BR>. Acesso em: 03 out. 2011.

Resposta Passo 2.2:

Em física, série harmônica é o conjunto de ondas composto da frequência fundamental e de todos os múltiplos inteiros desta frequência. De forma geral, uma série harmônica é resultado da vibração de algum tipo de oscilador harmônico. Entre estes estão inclusos os pêndulos, corpos rotativos (tais como motores e geradores elétricos) e a maior parte dos corpos produtores de som dos instrumentos musicais. As principais aplicações práticas do estudo das séries harmônicas estão na música e na análise de espectros eletromagnéticos, tais como ondas de rádio e sistemas de corrente alternada. Em matemática, o termo série harmônica refere-se a uma série infinita. Também podem ser utilizadas outras ferramentas de análise matemática para estudar este fenômeno, tais como as transformadas de Fourier e as séries de Fourier.

A série harmônica é uma série infinita, composta de ondas senoidais com todas as frequências múltiplas inteiras da frequência fundamental.

Tecnicamente, a frequência fundamental é o primeiro harmônico, no entanto, devido a divergências de nomenclatura, alguns textos apresentam a frequência 2F como sendo o primeiro harmônico. Para evitar ambiguidades, consideramos, no âmbito desse artigo, que a fundamental corresponde ao primeiro harmônico. Não existe uma única série harmônica, mas sim uma série diferente para cada frequência fundamental. A Tabela abaixo mostra dois exemplos de série harmónica. Uma se inicia no Lá1(110 Hz) e a outra no Do2(132 Hz). A frequência dá nota Do2 foi arredondada para simplificar a tabela. Em um sistema temperado as frequências das notas seriam ligeiramente diferentes (Ver observações e o texto abaixo). São mostrados os 16 primeiros harmônicos para cada série.

# Lá1 Do2 Observações

Nota Frequência(Hz) Nota Frequência(Hz)

1(F) Lá1 110 Do2 131 Frequência fundamental. Tecnicamente o primeiro harmônico.

2 Lá2 220 Do3 262 Uma oitava acima da fundamental. 2º harmônico

3 Mi3 330 Sol3 393 Uma quinta acima do 2º harmônico.

4 Lá3 440 Do4 524 Duas oitavas acima da fundamental.

5 Do#4 550 Mi4 655 Todos os harmônicos ímpares subsequentes soam desafinados em relação aos equivalentes temperados

6 Mi4 660 Sol4 786 Note que o Sol4 da série de Do é diferente da mesma nota na série de Lá (linha abaixo)

7 Sol4 770 Sib4 917

8 Lá4 880 Do5 1048 Três oitavas acima da fundamental

9 Si4 990 Ré5 1179

10 Do#5 1100 Mi5 1310

11 Ré#5 1210 Fa#5 1441

12 Mi5 1320 Sol5 1572

13 Fá#5 1430 Lá5 1703 Veja que o Lá 5 é muito desafinado em relação à mesma nota na série de Lá (última linha)

14 Sol5 1540 Sib5 1834 Estas notas não pertencem a nenhuma escala ocidental por terem intervalo inferior a um semitom.

15 Sol#5 1650 Si5 1965

16 Lá5 1760 Do6 2096 Quatro oitavas acima da fundamental

Em matemática, a série harmónica é a série infinita definida como, nome harmónica é devido à semelhança com a proporcionalidade dos comprimentos de onda de uma corda a vibrar: 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... (ver série harmônica (música)).

Esta série diverge lentamente. A demonstração (feita originalmente na Idade Média por Nicole d'Oresme) faz-se tendo em conta que a série

é termo a termo maior que ou igual à série que claramente diverge.

Relacione constante de euler + PG + série harmônica

Passo 2.3

CRESCIMENTO POPULACIONAL

Thomas Malthus em seu trabalho publicado em 1798 “An Essay on the Principle of Population”, apresentou um modelo para descrever a população presente em um determinado ambiente, em função do tempo. Ele considerou N = N(t) como sendo o número de indivíduos em certa população no instante t. Tomando as hipóteses que os nascimentos e as mortes naquele ambiente eram proporcionais à população presente e sendo a variação do tempo conhecida entre os dois períodos, concluiu a seguinte equação para descrever a população presente em um determinado instante t. , onde temos:

t =0 no instante inicial

r = uma constante que varia com a espécie da população

= A população existem/presente no instante inicial.

É obvio que o gráfico dessa função depende de r e

A utilização desse modelo parte do pressuposto de que o meio ambiente tenha pouca ou nenhuma influência sobre a população. Dessa forma, ele serve mais como um indicador do potencial de sobrevivência e de crescimento de cada espécie populacional, do que um modelo que realmente mostra o que ocorre.

Com base nas informações acima, considerar uma colônia de vírus em um determinado

ambiente. Um analista de um laboratório ao pesquisar essa população, percebe que ela triplica a cada 8 hora. Dessa forma, utilizando o modelo populacional de Thomas Malthus, quantos vírus haverá na colônia após 48 horas em relação à última contagem?

Sites sugeridos para pesquisa

• Principle of Population – Malthus, 2011. Disponível em:

<https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0B9WATR68YYLONTZlNThiOTAtYmE4YS00NDEzLWJhM2YtYjUzYTU3NjQ5MzMz&hl=pt_BR>. Acesso: em 03 out. 2011.

Resposta Passo 2.3

N(0) = N0*e3*0

N(0) = 0

Passo 2.4

Construir uma tabela e plote um gráfico do crescimento populacional em função do tempo, observando o que ocorre a cada 4 horas. Fazer um relatório com todos os dados solicitados nos quatro passos da Eta