Calculo II

Sumário

Introdução 3

Resolução dos problemas 4

Etapa 01 (A Derivada) 4

Passo 1 4

Passo 2 5

Passo 3 5

Passo 4 6

Etapa 02 (Técnicas de Diferenciação) 6

Passo 1 6

Passo 2 7

Passo 3 8

Passo 4 9

Passo 5 11

Passo 6 11

Etapa 03 (Aplicações da Derivada) 12

Passo 1 12

Passo 2 13

Passo 3 14

Etapa 04 (Otimização e Modelagem) 15

Passo 1 15

Bibliografia 17

Introdução

Esta ATPS tem como objetivo apresentar um conjunto de atividades para o desenvolvimento da aprendizagem em Cálculo II.

A elaboração desta tarefa consiste em colher a teoria dos tópicos da disciplina e exercícios resolvidos para consulta.

Resolução dos problemas

Etapa 01 (A Derivada)

Passo 1

Faça a leitura do capitulo 2 – seções 2.3 e 2.4 do PLT e demonstre o que representa a taxa de variação média de f e a taxa de variação instantânea de f. Dê dois exemplos.

A taxa de variação média de uma função f (coeficiente angular) indica o quão rápido ou devagar essa função muda, de uma extremidade à outra do intervalo, em relação ao tamanho do intervalo. Na prática:

m=(f(a+h)-f(a))/h

Exemplo 1: Dada a distância ‘s’ como uma função do intervalo ‘a’ e ‘b’, temos que a velocidade média ‘Vm‘ é dada por:

Vm=(s(b)-s(a))/(b-a)

Já a taxa de variação instantânea de uma função f (derivada) consiste na mesma variação acima, porém, limitada a um determinado ponto. Na prática:

f'(a)=lim┬(h→0)⁡((f(a+h)-f(a))/h)

Exemplo 2: Dada a distância ‘s’ como uma função do intervalo ‘a’ e ‘b’, temos que a velocidade instantânea ‘Vi‘ - quando ‘t’ é igual à ‘a’ - é dada por:

V'(s)=lim┬(h→0)⁡((s(a+h)-s(a))/h)

Passo 2

Demonstre a regra da derivada da função constante e a regra da função potência, algebricamente.

Dado que 〖'b〗^' é uma constante≫ lim┬(x→c)⁡〖(b.f(x) )=b.(lim┬(x→c)⁡〖f(x))〗 〗

Já a regra da derivada da função potência é dada por:

f(x)ⁿ=lim┬(h→0)⁡((f(x+h)ⁿ-f(x)ⁿ)/h)

Passo 3

Leia o capitulo 2 – seção 2.5 do PLT e, por meio de exemplos, faça a interpretação prática da derivada.

A derivada pode ser interpretada graficamente como um coeficiente angular da reta tangente à função. Na prática, físicos e cientistas utilizam modelos matemáticos com o formato de uma equação diferencial, isto é, uma equação que contém uma função e suas derivadas. Isso é necessário para predizer o comportamento futuro de um modelo baseado na maneira como os valores presentes variam.

Um exemplo é a taxa de crescimento de uma população ‘P’. Dado o tempo ‘t’ e a constante de proporcionalidade ‘k’, temos que a taxa de crescimento (simplificada) de uma população é:

dP/dt "=k.P"

Outro exemplo é a Velocidade ‘V’ de um objeto em um determinado instante ‘t’ e posição ‘s’. A velocidade é dada por:

V=ds/dt

Passo 4

Leia o capitulo 2 – seção 2.6 do PLT e elabore um texto, com explicações, sobre a derivada segunda.

Se a derivada primeira de uma função representa a taxa de variação desta função, a derivada segunda representa justamente a taxa de variação da derivada primeira.

Na prática, a aceleração ‘A’ de um corpo é dada pela derivada (primeira) da velocidade em função do tempo:

A=dv/dt

Já se desejarmos saber como esta aceleração ‘A’ varia com o tempo, a derivada (segunda) da velocidade em função do tempo nos indica:

dA/dt=d/dt⁡〖(dv/dt)=(d^2 s)/〖dt〗^2 〗

Etapa 02 (Técnicas de Diferenciação)

Passo 1

Faça a leitura do capitulo 3 – seção 3.1 do PLT e enuncie a derivada da soma, a derivada da diferença e a derivada de polinômios, com quatro exemplos.

A derivada da soma é dada por:

∂/∂x [f(x)+g(x) ]=f^' (x)+g'(x)

Analogamente, a derivada da diferença é dada por:

∂/∂x [f(x)-g(x) ]=f^' (x)-g'(x)

Exemplos:

* f(x)= -x + x2 → f’(x)= -1+2x * f(z)= z + 5z → f’(z)= 6

* f(x)= xπ - πx → f’(x)= πxπ-1 – πx(ln π) * f(k)= k2 – k3 → f’(k)= 2k - 3k2

Já a derivada de polinômios é dada por (para ‘n’ um número real e constante):

∂/∂x (x^n )=n.x^(n-1)

Exemplos:

* f(x)= -x-11+4x+5 → f’(x)= 11x-12+4