Calculo II

Santo André

2013

Etapa 1

Passo 1-Faça leitura do capitulo 2 – seções 2.3 e 2.4 do PLT.

Demonstre o que representa a taxa de variação média de f e a taxa de variação instantânea de f, dê exemplos?

A taxa de variação média nos diz o quão depressa (ou devagar) a função muda, de uma extremidade do intervalo até a outra, em relação ao tamanho do intervalo. É mais útil,muitas vezes,saber a taxa de variação do que a variação absoluta.

Exemplo: Se alguém lhe oferece um emprego que paga R$100, você vai querer saber quanto tempo vai ter que trabalhar para ganhar esse dinheiro. Não basta saber apenas a variação total em dinheiro, R$100, mas se souber a taxa de variação (isto é, R$100 dividido pelo tempo que vai levar para recebê-lo) você pode decidir se aceita ou não o emprego.

Taxa de variação média de f

no intervalo de a até a + h = f(a+h)-f(a).

h

Taxa de variação instantânea de f.

A taxa de variação Instantânea de uma função em um ponto da mesma forma que definimos a velocidade instantânea: considerando a taxa de variação média em intervalos cada vez menores. Essa taxa de variação instantânea é chamada de derivada de f em a e denotada por f(a).

A derivada de f em a, denotada por f (a), é definida por:

Taxa de variação de f em a = f, (a) = lim f (a+h) – f (a) .

h→0 h

Se o limite existe, dizemos que f é DIFERNCIÁVEL em a.

Escolhendo valores pequenos de h,estime a taxa de variação instantânea do raio r de uma esfera em relação à variação em volume em V=1.

Solução

A formula r =f(V) foi dada no Exemplo 1. Com h = 0,01 e h = - 0,01, temos os quocientes de diferenças

f(1,01) – f(1)≈0,2061 e f(0,99) – (1) ≈0,2075.

0,01 -0,01

Com h =0,001e h = -0,001,

f(1,001) – (f(1) ≈ 0,2067 e f(0,999) -f( 1) ≈ 0,2069.

0,001 - 0,001

Os valores desses quocientes de diferenças sugerem que o limite está entre 0,061 e 0,2075. Concluímos que o valor deve ser em torno de 0,207; escolhendo valores menores de h confirma nossa hipótese. Logo,

f’(1)= Taxa de variação do raio em relação ao volume em V=1 ~ 0,207

Passo 2-Demonstre a regra da derivada da função constante e a regra da função potência, algebricamente.

A - Toda derivada de uma função constante é igual a zero

Exemplo:

Se f tem o valor constante f(x) = 8, Então:

f”(x) = 0

B - Derivada da função potência:

f(x)=xn

f”(x)= nxn-1

Passo 3- Leia o capitulo 2-seção 2.5 do PLT e por meio de exemplos, faça a interpretação prática da derivada.

Veremos inicialmente que a derivada representa a inclinação de uma curva num ponto.

Então vamos definir a inclinação de uma curva y=f(x) para, em seguida, encontrar a equação da reta tangente.

Seja y=f(x) uma curva definida no intervalo (a, b), na figura ao lado.

Sejam P(x1, y1) e Q(x2, y2) dois pontos distintos da curva .

Seja s a reta secante que passa pelos pontos P e Q. Considerando o triângulo retângulo PMQ, na figura, temos que a inclinação da reta s (ou coeficiente angular de s) é:

Suponhamos agora que, mantendo P fixo, Q se mova sobre a curva em direção a P. Diante disto, a inclinação da reta secante s variará. A medida que Q vai se aproximando cada vez mais de P, a inclinação da secante s varia cada vez menos, tendendo para o valor limite constante como mostra a figura ao lado.

Esse valor limite, é chamado inclinação da reta tangente à curva no ponto P.

Definição:

Uma curva y=f(x), seja P(x1, y1) um ponto sobre ela. A inclinação da reta tangente à curva no ponto P é dada por quando o limite existe.

Fazendo x 2= x1 + x podemos reescrever o limite (1) na forma

Portanto, conhecendo a inclinação da reta tangente à curva no ponto P, podemos encontrar a equação da reta tangente à curva em P.

Equação da Reta Tangente

Se a função f(x) é contínua em x1, então a reta tangente à curva y=f(x) em P(x1,f(x1)) é:

(1)A reta que passa por P tendo a inclinação

, se este limite existe.

Exemplos

Solução:

1º) Obter a reta tangente e o esboço do gráfico da função , no ponto P de abscissa 2.

Seja temos:

A figura abaixo mostra um esboço do gráfico e um segmento da reta tangente (2,4)

Tabela de construção do gráfico e

inclinação da reta tangente

2º) Ache a inclinação da reta tangente ao gráfico da função definida por no ponto (x1,y1). Solução:

Para fazer um esboço do gráfico da função neste exemplo, colocamos pontos no gráfico e um segmento da reta tangente em alguns deles. Os valores de x são tomados