Calculo II

3) Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura de 20 m e uma base com raio de 4 m. A ´agua está fluindo dentro do tanque a uma vazão de 2 m³/min. Quão rápido se elevará o n´nível de ´agua quando a água estiver com 5 m de profundidade?

R: (2/π)m/min

4) Uma queimadura na pele de uma pessoa tem a forma de um círculo. Se o raio da queimadura está decrescendo a uma taxa de 0,05 cm por dia quando ele ´e 1 cm, qual a taxa de decréscimo da ´área da queimadura nesse instante?

R: −π/10cm²/dia

5) Um quadrado se expande de modo que seu lado varia `a razão de 6 cm/s. Determine a taxa de variação da ´área do quadrado no instante em o lado meça 10 cm.

R: 120cm²/s

6) O raio de uma bola cresce `a razão 3 cm/s. Determine a taxa de variação do volume da bola no instante em que o raio ´e 8 cm.

R: 768πcm³/s

Felizes aqueles que se divertem com problemas que educam a alma e elevam o espírito.1) Utilizando a derivação implícita, resolva as equações diferenciais abaixo.

a ) x4 + y4 + x² + y² + x + y = 1

b ) x² + y² = 1

c ) x³ - y³ - 4xy = 0

d ) x²y + 3xy³ - 3 = x

e) x -

x

y

= 2

f ) tgy = xy

g) ey = x + y

2) Calcule

dx

dy

da função y(x) definida na, forma paramétrica, pelas equações :

a )

  

 

 

4 3

2 1

y t

x t

b )

  

 

 

y t t

x t

9 6

3 1

2

x = t² x = cos³t

c) ; t  ] 0; +  [ d) ; t  ] -

2



; 0 [

y = t³ y = sen³t

x = 3cost x = cos2t

e) ; t  [  ; 2 ] f) ; t  [ 0;

2



]

y = 4sent y = sen2t

x = 2t – 1 x = 8cos³t

g) ; -  < t < +  h) ; t  [0;  ]

y = t³ + 5 y = 8sen³t