Calculo II

ETAPA 1

Conceito de Derivada e Regras de Derivação.

O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação instantânea de uma função, o qual está presente no cotidiano das pessoas, através, por exemplo, da determinação da taxa de crescimento de uma certa população, da taxa de crescimento econômico do país, da taxa de redução da mortalidade infantil, da taxa de variação de temperaturas, da velocidade de corpos ou objetos em movimento, enfim, poderíamos ilustrar inúmeros exemplos que apresentam uma função variando e que a medida desta variação se faz necessária em um determinado momento.

Aplicação de Derivada em Física:

Conceito de velocidade média: É a soma de todas as velocidades que foram registradas em um determinado período de tempo, dividido pelo número de velocidades registradas.

Por exemplo:

Considere que você precisa fazer uma viagem de Belém a Mosqueiro, distante 75 km, considere também que esta viagem seja feita em 2 h, um tempo bastante longo para os nossos padrões. Dividindo a distância (75 km) pelo tempo (2h), encontraremos a sua velocidade média vm:

vm = 75/2 = 37,5 km/h

Conceito da velocidade Instantânea: A velocidade escalar instantânea é considerada um limite da velocidade escalar média, quando o intervalo de tempo for zero (∆t→ 0). Ela é totalmente derivada do espaço, em relação ao tempo. Essa “derivação” pode ser representada pela equação:

V= ds/dt

A velocidade escalar instantânea possui um sinal que define o sentido do movimento ao longo da trajetória. Como por exemplo:

Se V > 0, o corpo vai no sentido positivo da trajetória.

Já se V < 0, o corpo vai na direção negativa da trajetória.

Conceito de aceleração instantânea: A aceleração é uma medida da variação da velocidade. Quando uma partícula tem movimento retilíneo com velocidade constante, a aceleração é nula (zero). Quando a aceleração escalar média chega ao seu limite, temos a aceleração escalar instantânea, que designa a aceleração do corpo em um determinado momento, isto é, quando o intervalo de tempo tende a ser zero.

Definição: Se uma função f é definida em um intervalo aberto contendo x0, então a derivada de f em x0, denotada por f ’(x0), é dada por:

f’(x0 ) lim f(x0 + ∆x) – f( x0),

∆x -> 0 ∆x

Se este limite existir. ∆x representa uma pequena variação em x, próximo de x0, ou seja, tomando x= x0 + ∆x (∆x = x − x ), a derivada de f em x0 pode também se expressa por:

f’(x0 ) lim f(x) – f( x0),

x -> 0 ∆x

Interpretação física: a derivada de uma função f em um ponto x0 fornece taxa de variação

instantânea de f em x0. Vejamos como isso ocorre:

Suponha que y seja uma função de x, ou seja, y = f(x). Se x variar de um valor x0 até um valor

x1, representaremos esta variação de x, que também é chamada de incremento de x, por

∆x = x1 - x0, e a variação de y é dada por ∆y = f(x1)- f (x0), o que é ilustrado na figura a seguir:

X

f(x1)

∆y

f(x0) ∆x

X0 X1 Y

Exemplo:

Suponha que a distancia percorrida de uma partícula em movimento sobre uma reta “r” seja dada por; p(t) = t²-6t. Onde p(t) é medida em pés e t em segundos.

Determine a velocidade em um instante t=(3)

Resolução:

Sabemos que para acharmos a velocidade precisamos primeiro achar a distancia, e para isso foi nos dada uma função de p(t) = t²-6t, aonde p(t) é a nossa distância.

p(t) = t²-6t

p(3) = 3²-6(3)

p(t) = 9-18

p(t) = -9

Então a nossa distancia no instante t=(3) será de -9 pés

V=(d(distancia total))/(t(tempo total)

V=9/3 = -3

A velocidade será de -3pés/s

A aceleração (a) será igual a velocidade instantânea?

Sabemos que nossa função é: p(t) = t²-6t

f’(x0 ) lim f(x0 + ∆x) – f( x0),

∆x -> 0 ∆x

A=p’(3 ) lim p(3 + h) – p(-9),

h -> 0 h

A=p’(3 ) lim (3 + h)²-6(3+h) –[ -9],

h -> 0 h

A=p’(3 ) lim 9+6h + h²-18-6h+9,

h -> 0 h

A=p’(3 ) lim 9+6 + h-18-6+9

A=p’(3 ) lim 9+6 + (3)-18-6+9

A=p’(3 ) lim 3 s²

A nossa aceleração será igual a velocidade instantânea, ou seja ela será de 3s² . Ela não se altera.

Vejamos na tabela abaixo o intervalo entre 0 a 5s:

Gráfico: t(s) x a(m/s)