Distribuição De Poisson

Distribuição de Poisson

Distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta que expressa à probabilidade de uma série de eventos ocorrerem num certo período de tempo se estes eventos ocorrem independentemente de quando ocorreu o último evento.

A distribuição de Poisson foi descoberta por Siméon-Denis Poisson (1781–1840) e publicada, conjuntamente com a sua teoria da probabilidade, em 1838 no seu trabalho Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile ("Inquérito sobre a probabilidade em julgamentos sobre matérias criminais e civis"). O trabalho focava-se em certas variáveis aleatórias N que contavam, entre outras coisas, o número de ocorrências discretas (por vezes chamadas de "chegadas") que tinham lugar durante um intervalo de tempo de determinado comprimento. A probabilidade de que existam exactamente k ocorrências (k sendo um inteiro não negativo, k = 0, 1, 2, ...) é:

Onde:

• e é base do logaritmo natural (e = 2.71828...);

• k! é o fatorial de k;

• λ é um número real, igual ao número esperado de ocorrências que ocorrem num dado intervalo de tempo. Por exemplo, se o evento ocorre a uma média de 4 minutos, e estamos interessados no número de eventos que ocorrem num intervalo de 10 minutos, usaríamos como modelo a distribuição de Poisson com λ = 10/4 = 2.5;

Como função de k, esta é a função de probabilidade. A distribuição de Poisson pode ser derivada como um caso limite da distribuição binomial.

• Aproximação da distribuição binomial pela distribuição de Poisson

Muitas vezes, no uso da binomial, acontece que n é muito grande (n → ∞) e p é muito pequeno (p →0). Nesses casos não encontramos o valor em tabelas, ou então o cálculo torna-se muito difícil, sendo necessário o uso de máquinas de calcular sofisticadíssimas ou então de computador.

Podemos então, fazer uma aproximação da binomial pela distribuição de Poisson.

Exemplo 1. Uma moeda viciada tem probabilidade de cara 0,01. Após ser lançada 200 vezes, calcule a probabilidade de dar 10 caras usando a binomial e a aproximação pela Poisson.

• Resolução pela binomial:

• Resolução pela aproximação de Poisson:

Logo, a aproximação é bastante boa, pois o erro é 0,000005 apenas.

Exemplo 2. A probabilidade de uma lâmpada se queimar ao ser ligada é 1/100. Numa instalação de 100 lâmpadas, qual a probabilidade de 2 lâmpadas queimarem ao serem ligadas?

X: número de lâmpadas queimadas.

• Resolução pela binomial:

• Resolução pela aproximação de Poisson:

 Distribuição de Poisson

Consideremos a probabilidade de ocorrência de sucessos em um determinado intervalo. A probabilidade da ocorrência de um sucesso no intervalo é proporcional ao intervalo.