Fundamentos da álgebra linear

Universidade Federal de Juiz de Fora – UFJF

Faculdade de Engenharia

PET – Engenharia Civil

Curso de Matemática Básica

Aula 9 – Fundamentos de Álgebra Linear

Matriz

Podemos dizer que uma matriz é uma tabela com colunas (vertical) e linhas (horizontal). Então chamamos de matriz toda tabela m x n sendo que m e n podem assumir qualquer valor natural menos o zero. Sendo que m é o número de linhas e n o número de colunas.

Para representar uma matriz devemos colocar as linhas e colunas entre parênteses, chaves ou entre duas barras duplas, veja alguns exemplos:

[pic]

[pic]

[pic]

Observe que em cada matriz dos exemplos acima tem ao lado indicando o número de linhas e o de colunas da matriz, o primeiro exemplo esta indicado 2 x 3 que lê assim a matriz é de ordem dois por três.

E cada número pertencente a uma matriz é o seu elemento.

Se pegarmos uma matriz qualquer de ordem m x n, como iríamos representá-la?

Cada elemento de uma matriz pertence a uma linha e uma coluna. Dada a matriz de ordem 3 x 2:

[pic]

O elemento - 5 pertence a 1ª linha e a 1ª coluna.

O elemento 2 pertence a 2ª linha e 2ª coluna.

Para representarmos uma matriz de ordem 2 x 2 onde não temos seus elementos definidos, representamos da seguinte forma:

[pic]

a11 ; a21 ; a12 ; a22 são

elementos da matriz de ordem 2 x 2 (duas linhas e duas colunas).

[pic]

Então o elemento a21 pertence a 2ª linha e 1º coluna.

Exemplo:

Escreva a matriz A = (ai j)2 x 3 tal que ai j = 2i + j.

A matriz A é de ordem 2 x 3, então podemos escrevê-la assim:

[pic]

Agora os números que ocuparam o lugar de: a11, a21, a12, a22, a13 e a23, irão depender da equação dada no enunciado: ai j = 2i + j.

Então iremos calcular cada elemento sabendo que:

i é a linha que o elemento pertence.

j é a coluna que o elemento pertence.

a11 = 2 . 1 + 1 a21 = 2 . 2 + 1

a11 = 3 a21 = 5

a12 = 2 . 1 + 2 a22 = 2 . 2 + 2

a12 = 4 a22 = 6

a13 = 2 . 1 + 3 a23 = 2 . 2 + 3

a13= 5 a23 = 7

Então os elementos que pertencem a matriz A são:

[pic]

Uma matriz recebe certo tipo de nome dependendo da quantidade de elementos em suas linhas e colunas ou apenas por características específicas.

►Matriz linhas

Recebe o nome de Matriz linha toda matriz que possui apenas uma linha. O número de colunas é independente. Por exemplo:

[pic]1 x 3

►Matriz coluna

Recebe o nome de Matriz coluna toda matriz que possuir apenas uma coluna. O número de linhas é independente. Por exemplo:

[pic]5 x 1

►Matriz nula

Recebe o nome de Matriz

nula toda matriz que independentemente do número de linhas e colunas todos os seus elementos são iguais a zero. Por exemplo:

[pic]

Podendo ser representada por 03 x 2.

►Matriz quadrada

Matriz quadrada é toda matriz que o número de colunas é o mesmo do número de linhas. Por exemplo:

[pic]

Quando a matriz é quadrada nela podemos perceber a presença de uma diagonal secundária e uma diagonal principal.

[pic]

►Matriz diagonal

Será uma matriz diagonal, toda matriz quadrada que os elementos que não pertencem à diagonal principal sejam iguais a zero. Sendo que os elementos da diagonal principal podem ser iguais a zero ou não. Por exemplo:

[pic]

►Matriz identidade

Para que uma matriz seja matriz identidade ela tem que ser quadrada e os elementos que pertencerem à diagonal principal devem ser iguais a 1 e o restante dos elementos iguais a zero. Veja o exemplo:

[pic]

►Matriz oposta

Dada uma matriz B, a matriz oposta a ela é - B. Se tivermos uma matriz:

[pic]

A matriz oposta a ela é:

[pic]

Concluímos que, para encontrar a matriz oposta de uma matriz qualquer basta trocar os sinais dos elementos.

►Matrizes iguais ou igualdade de matrizes

Dada