Matemática Para A 1ª série Do Ensino médio

Conjuntos

Para desenvolvermos alguns tópicos em matemática, é necessário partirmos de noções elementares que admitimos sem definição, recorrendo ao que normalmente denominamos de intuição. A essas noções elementares admitidas sem definição chamamos de conceitos primitivos.

Conjunto, elemento e pertinência:

Os conceitos de conjunto, elemento e pertinência são exemplos de conceitos primitivos e aceitos, portanto, sem definição. Intuitivamente, associamos à idéia de conjunto as de coleção e, à idéia de elementos, os objetos ou “coisas” da coleção.

Exemplo:

Sendo A o conjunto dos números ímpares entre 1 e 9, então os elementos de A são 3, 5 e 7.

À idéia de constituir o conjunto associamos o conceito primitivo de pertencer. Dizemos então que o elemento pertence ao conjunto.

Os símbolos (pertence) e (não pertence) são utilizados para relacionar elemento a conjunto. Assim, no exemplo considerado, temos: 13 A e 5 A.

Representação de Conjuntos:

Vamos considerar o conjunto A formado pelos elementos 3, 5 e 7. Esse conjunto pode ser representado de três formas distintas:

 Pela enumeração de seus elementos: A = {3, 5, 7}

 Por uma propriedade característica de seus elementos: A = { x | x é um número ímpar entre 1 e 9}

 Graficamente, por diagramas (diagramas atribuídos ao matemático Venn*).

A

Conjuntos finitos e infinitos:

Denomina-se n(A) o número de elementos de qualquer conjunto A.

Se um conjunto não possuir elementos, então n(A) = 0 e representamos o conjunto A por Ø ou { }, denominado conjunto vazio.

Quando um conjunto tiver apenas um elemento, então n(A) = 1 e será denominado conjunto unitário.

Conjuntos numéricos:

A história dos números está diretamente ligada à própria história do homem. Assim, a evolução dos conjuntos numéricos obedeceu à necessidade de representação da Natureza e de solução de problemas com os quais o ser humano se deparou no decorrer de sua existência.

Assim, só é possível determinar o conjunto solução, se o conjunto universo estiver bem definido.

Exemplo:

O conjunto solução da equação x + 3 = 0, sendo U = conjunto universo = N, é S = Ø, pois x = – 3 N.

Conjunto dos números naturais (N):

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, .....}

N* = {1, 2, 3, 4, 5, ....} → Conjunto dos números naturais não-nulos.

Conjunto dos números inteiros (Z):

Z = {...., – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, ..... }

Z* = {...., – 4, – 3, – 2, – 1, 1, 2, 3, 4, ..... } → (exclui o zero)

= {0, 1, 2, 3, 4, ....} → Conjunto dos números inteiros não-negativos

= {0, – 1, – 2, – 3, – 4, ....} → Conjunto dos números inteiros não-positivos

= {1, 2, 3, 4, .... } → Conjunto dos números inteiros positivos

= {– 1, – 2, – 3, – 4, .... } → Conjunto dos números inteiros negativos

Pelo diagrama de Venn, temos:

Conjunto dos números reais ( R ):

Número real é todo número que pode ser escrito na forma decimal, com ou sem repetição periódica. Divide-se em racional e irracional.

São números reais:

 = 1,4142136 ... (sem repetição periódica)

 = 0,6666666 ... (com repetição periódica)

 = 5,0 ou 5

 = 0,0 ou 0

 = – 0,5

 = 0,211111 ... (o 1 se repete infinitas vezes)

 = 3,1415927 ... (sem repetição periódica)

Conjunto dos números racionais (Q):

São números na forma com e .

Em símbolos: Q = { x | x = , e }

São números racionais:

 = 0,333 ... (dízima periódica, de período igual a 3)

 = – 5

 = 3

 = 0

 = – 2,5

Conjunto dos números Irracionais (I) ou (R – Q):

São os números reais com infinitas casas decimais, sem repetição periódica. O conjunto dos irracionais é representado por I ou por R – Q.

São números irracionais:

 = 1,7320508 ...

 e = 2,7182818 ... (número de Euler – base dos logaritmos neperianos)

 = 2,236068 ...

Conjunto dos números complexos (C):

São números da forma a + bi, sendo a e b reais e i = . O conjunto dos complexos é representado por C.

São números complexos:

 – 2 + 5i (a = – 2 e b = 5)

 3 + 0i (a = 3 e b = 0)

 0 + i (a = 0 e b = 1)

 0 + 0i (a = 0 e b = 0)

Diagrama de Venn para os conjuntos numéricos: