Portfolio De Algebra

Portfólio 1

Questões de revisão – de 1 a 6, página 165; Exercícios de fixação – de 1 a 12, 17 e 18, página 165.

Livro: Cálculo

George B. Thomas Jr, Ross L. Finney,

Maurice D. Weir, Frank R. Giordano, volume

2, 10ª edição, Pearson

Questões de Revisão

1) Quando segmentos da reta orientados no plano representam o mesmo vetor?

R: Quando ambos segmentos tiverem o mesmo módulo, sentido e direção, mesmo que tenham origem em pontos diferentes.

2) Como os vetores são somados e subtraídos geometricamente? E algebricamente?

R: Geometricamente falando, a soma de dois vetores se da colocando dois vetores unidos pelas suas origens, traçando-se paralelas a cada vetor no final do outro vetor. As paralelas junto com os vetores formam um paralelograma, a diagonal deste paralelograma é a soma destes vetores. A diferença de dois vetores se da pela diagonal resultante das extremidades de dois vetores, unidos pela mesma origem resultante das extremidades de dois vetores, unidos pela mesma origem .

Algebricamente – soma se: v = (a,b) e u = (c,d), definimos a soma dos vetores por: v+u = (a-c,b-d).

3) Como se encontra a magnitude e a direção de um vetor?

R: A magnitude de um vetor ou comprimento, é dado pelo módulo, ou seja, o módulo do vetor v (x,y) é: |v|=√(x^2+y^2 ) e o resultado é a sua magnitude.

4) Se um vetor for multiplicado por um escalar positivo, como o resultado estara relacionado ao vetor original? O que acontece se o escalar for zero? E negativo?

R: Se um vetor for multiplicado por um escalar positivo, suas coordenadas aumentam proporcionalmente ao escalar e mantem o mesmo sentido. Se o escalar for negativo, suas coordenadas aumentam proporcionalmente ao escalar, mas o sentido é alterado. Se o escalar for nulo o vetor se tornara nulo tambem ( 0.u = 0).

5) Defina o produto escalar de dois vetores. Quais leis algebricas são satisfeitas pelos produtos escalares? De exemplos. Quando o produto escalar de dois vetores é igual a zero?

R: O produto escalar de dois vetores ou produto interno, resulta em um escalar. Seja v=(v_1,v_2), o produto escalar u.v é o numero: u_1 v_1+u_2.v_2

Leis algebricas: u..v=v.u→ex:u.v=u_1 v_1+u_2 v_2=v_1 u_1+v_2 u_2=v.u

u,v e w→vetores 2.(a u).v=u(a v)=a(u.v) ex:(u_1 u_2 ).(v_1+w_1,v_v+w_2 )=

a→escalar 3 u (v+w)=w.v+u.w = w_1 (v_1+w_1 )+w_2 (v_2+w_2)

= w_1 v_1+v_1 w_1+w_2 v_2+v_2 w_2

4.u.u=|u^2 | =(u_1 v_1+u_2 v_2 )+(u_1 v_1+u_2 v_2

5 0.u=0 =u.v+v.u

O produto escalar de dois vetores é zero quando os dois vetores são ortogonais u.v=0

6) Qual interpretação geometrica o produto escalar tem? De exemplos.

R: Dois vetores u ̅ e v ̅, podemos dizer que um vetor a ̅ paralelo a u ̅ e um vetor b ̅ ortogonal a u ̅, e que: v ̅=a ̅+b ̅.

Ex: a ̅=prg v ̅/u ̅

v ̅=a ̅+b ̅→v ̅=m.u ̅+b ̅→v ̅.u ̅=m u ̅.u ̅+b ̅+v ̅ .u ̅=m|u|^2

a ̅=m.u ̅

b ̅.u ̅=0 m=(v ̅u ̅)/|u|^2 →a ̅=prg v ̅/u ̅ =m.u ̅→prg v ̅/u ̅ =(v ̅u ̅)/|u|^2 .u ̅

Questões de fixação (1 a 12,17 e 18)

Operações com vetores

Nos exercícios 1-4, seja u=(-3,4) e v=(2,-5). Encontre (a) os componentes do vetor e (b) sua magnitude.

1) 3u-4v

a) 3 (–3,4)- 4(2,-5) b) 3u-4v=(-17,25)=w

(-9,12)- (8,-20) |w|=-√(〖(17)〗^2+〖(32)〗^2 )

|w|=√(289+1032)=√1313

3u-4v=(-17,32)

2) u+v

a)u+v=(-3,4)+(2,-5) b) u+v=(-1,-1)=w

w+v=(-1,-1) w ̅=√(〖(-1)〗^2+〖(-1)〗^2 )

w ̅=√2

3) –2u

a)-2u=-2(-3,4) b)-2u= (6,-8)=w

=(6,-8) w ̅=√(〖(16)〗^2+〖(-8)〗^2 )

w ̅=√(36+64=√100)

w ̅=10

4) 5v

a)5=(2,-5) b) 5v=(10,-25)=w

=(10,-25) w ̅=√(〖(10)〗^2+〖(-25)〗^2 )

w ̅=√(100+625)=√725

Nos exercicios 5-8, encontre os componentes do vetor.

5) O vetor obtido girando-se (0,1) em um ângulo de 2π/3 radianos.

R:

6)