Teoremas
Por: silva13 • 8/6/2015 • Trabalho acadêmico • 878 Palavras (4 Páginas) • 147 Visualizações
Series - Teoremas
1 Teorema 1.
Se
P
an e
P
bn s~ao series convergentes, ent~ao as series
P
c an (sendo c uma constante) e
P
(an bn) tambem
s~ao convergentes
a.
P
c an = c
P
an
b.
P
(an bn) =
P
an
P
bn ,
2 Testes de converg^encia:
2.1 Teorema 2 (Teste da diverg^encia)
Se limn!+1 an n~ao existe ou se limn!+1 an 6= 0, ent~ao a serie
P
an e divergente.
2.2 Teorema 3 (Teste da integral)
Seja
P
an uma serie com termos positivos e seja f(x) a func~ao que resulta quando k for substitudo por x no
termo geral da serie. Se f e decrescente e contnua no intervalo [a;+1), ent~ao
a. Se
R +1
a f(x)dx e convergente,
P
an e convergente
b. Se
R +1
a f(x)dx e divergente,
P
an e divergente
2.2.1 Estimativa do erro para o teste da integral
Se f(n) = an uma func~ao contnua, positiva e decrescente para x n e
P
an e convergente. O erro de
truncamento Rn satisfaz
Z 1
n+1
f(x)dx Rn
Z 1
n
f(x)dx (1)
2.2.2 p-series
A serie
P1
n=1
1
np e convergente se p > 1 e divergente se p 1
2.3 Teorema 3 (Teste da comparac~ao)
Sejam
P
an e
P
bn series com termos positivos,
a. Se
P
bn e convergente e an bn para todo n > No, ent~ao
P
an e convergente
b. Se
P
bn e divergente e an bn para todo n > No, ent~ao
P
an e divergente
2.3.1 Teorema 4 (Teste da comparac~ao dos limites)
Sejam
P
an e
P
bn series com termos positivos, se
lim
n!1
an
bn
= c (2)
onde c e um numero nito e c > 0, ent~ao ambas as series convergem ou ambas as series divergem.
1
2.3.2 Estimativa do erro para o teste de comparac~ao
Sejam
P
an com erro Rn e
P
bn com erro Tn, series convergentes com termos positivos e an bn para todo
n > No, ent~ao Sn Tn
2.4 Teorema 5 (Teste de series alternadas)
Se a serie alternada
1X
n=1
(1)nan = a1 a2 + a3 a4 + ::::::::(an > 0) (3)
satisfaz
a. an+1 an , para todo n
b. limx!1 an = 0 ,
a serie e convergente.
2.4.1 Estimativa do erro para o teste de series alternadas
Se a serie alternada
P1
n=1(1)nan satisfaz
a. an+1 an , para todo n
b. limx!1an = 0 ,
ent~ao jRnj an+1
2.5 Teorema 6 (Teste da raz~ao)
2.5.1 De nic~ao
uma serie
P
an e chamada de absolutamente convergente se a serie de valores absolutos
P
janj e convergente.
2.5.2 Teorema
seja a serie
P
an
lim
n!1
j
an+1
...