Vetor - Algebra

Coordenada ( x, y, z) : determinante da posição de um ponto P . Vetor r(x,y,z):sensordomovimentodeumpontoP .

X

Z

r

O

P (x, y, z)

Y

VETORES

1

Os vetores da origem "O" até os pontos (1, 0, 0) , (0, 1, 0) e (0, 0, 1) são os vetores unitários i, j, k. Qualquer vetor r pode ser escrito em termos destes vetores unitários.

r = OP = i x + j y + k z , onde x, y e z são as coordenadas de P.

Um vetor genérico a é então representado pelas coordenadas cartesianas.

a = ( a1, a2, a3 )

PRODUTO ESCALAR •

r

a•b=(a1,a2,a3)•(b1,b2,b3)=a1b1 +a2b2 +a3b3)

O produto escalar é a projeção do vetor a na Escala b .

O módulo de um vetor é a raiz da projeção deste em sua própria escala: |a|2 =a•a=a1 xa1 +a2 xa2 +a3xa3

a= a12+a2+a32

Um automóvel (A) movimenta-se a velocidade VA = |a| , na direção e

r

r

sentido de a ; um segundo automóvel (B) alinha seu movimento com a direção r

e o sentido do vetor a . Na situação em que A e B se encontram movimentando-se lado a lado, se B possuir um medidor de velocidades, então é possível determinar o módulo da velocidade de A : VA = VB = |b| .

|VA |2 =a•b=|a|x|b|xcosθ,ondeθéoânguloentreaeb,neste caso ajustado em Zero para permitir a medição do módulo da velocidade.

Cos θ é o coseno diretor do movimento de rotação de um sistema de coordenadas fixo em b, ou referencial de b, utilizado para projetar b na direção de a e determinar |a|.

Genericamente,

a • b = |a| x |b| x cos θ .( Lei dos cossenos)

cb

θ

a

c=a+b

c • c = ( a + b ) • ( a + b ) = a • a + b • b + 2 a • b c • c = |c|2

a•b=1⁄2{|c|2 -|a|2 -|b|2 }

a • b = |a| x |b| x cos θ

|c|2 =|a|2 +|b|2 +2x|a|x|b|xcosθ (outraformadaLeidoscosenos). (0≤θ≤Π): cosθ ≤ 1

| a + b | ≤ |a| x |b| ("Desigualdade do Triângulo")

|a • b| ≤ |a| x |b| ( "Desigualdade de Cauchy – Schwarz" )

2

PRODUTO VETORIAL X

c

b

------ *** -------

Yθa O

X

Z



Os vetores não paralelos a e b determinam o plano AB; sendo θ o ângulo entre ambos e dirigido de a para b, o produto c da multiplicação de a por b é:

c=axb= n|a|x|b|xsenθ,ondenéumvetorunitárionormalaoplanoAB. O vetor c tem portanto direção normal ao plano e módulo igual à área

definida por |a| x |b| x sen θ .

bxa=n|b|x|a| xsen(-θ)=-n|a|x|b|xsenθ=-axb;oProdutoVetorialé