Função Linear

ETAPA 1

Situação-problema 1: O valor da conta de água é dado por uma tarifa fixa, mais uma parte que varia de acordo com o volume, em metros cúbicos utilizados, caso exceda o volume considerado na tarifa fixa. O valor da tarifa fixa é de R$ 13,00 e a cada metro cúbico excedente acrescenta R$1,90 no valor da conta.

PASSO 1 – Faça a leitura do capítulo 1 – seção 1.1 do PLT e demonstre através da situação problema 1 o conceito de função linear. Escreva a equação para o custo total de água, em reais, de uma residência em função da quantidade de água utilizada, em metros cúbicos e interprete os resultados.

Função Linear:

Uma função é linear se seu coeficiente angular, ou taxa de variação, é a mesma em todos os pontos. A taxa de variação de uma função que não é linear pode variar de ponto a ponto.

Y= Ax + B

Y= F(x) = b + mx

Y= F (t)

Considerando os seguintes volumes: 1 m³, 2 m³, 3 m³, 4 m³, 5 m³, 6 m³, 7 m³, 8 m³, 9 m³ e 10m³, teremos:

Y = f(t)

Y = 1,9 . t + 13 Y = 1,9 . 1 + 13 Y = R$ 14,90

Y = 1,9 . t + 13 Y = 1,9 . 2 + 13 Y = R$ 16,80

Y = 1,9 . t + 13 Y = 1,9 . 3 + 13 Y = R$ 18,70

Y = 1,9 . t + 13 Y = 1,9 . 4 + 13 Y = R$ 20,60

Y = 1,9 . t + 13 Y = 1,9 . 5 + 13 Y = R$ 22,50

Y = 1,9 . t + 13 Y = 1,9 . 6 + 13 Y = R$ 24,40

Y = 1,9 . t + 13 Y = 1,9 . 7 + 13 Y = R$ 26,30

Y = 1,9 . t + 13 Y = 1,9 . 8 + 13 Y = R$ 28,20

Y = 1,9 . t + 13 Y = 1,9 . 9 + 13 Y = R$ 30,10

Y = 1,9 . t + 13 Y = 1,9 .10 + 13 Y = R$ 32,00

PASSO 2– Demonstre que o coeficiente angular de uma função linear y=f(t) pode ser calculado a partir de valores da função em dois pontos, descrita no Passo 1.

m = F (x2) – F (x1)

x2 - x1

Para a função de dois pontos 1m³ e 3m³:

m = F (x2) – F (x1) => m = F (22,50) – F (14,90) = 7,6 = 1,90

x2 - x1 5 - 1 4

Para a função de dois pontos 1m³ e 6m³:

m = F (x2) – F (x1) => m = F (32,00) – F (14,90) = 17,10 = 1,90

x2 - x1 10 - 1 9

Para a função de dois pontos 3m³ e 6m³:

m = F (x2) – F (x1) => m = F (32,00) – F (22,50) =9,50 = 1,90

x2 - x1 10 - 5 5

PASSO 3 – Utilizando o software Microsoft® Excel, construa o gráfico da função referente a situação-problema 1 e identifique se a função é crescente ou decrescente.

A função referente à situação problema 1 é crescente, conforme gráfico abaixo:

ETAPA 2

Situação-problema 2: Se a temperatura do planeta continuar subindo no ritmo atual e os países não tomarem medidas com a mesma velocidade para auxiliar o problema do aquecimento global, poderão ocorrer várias epidemias por microorganismos. Os modelos matemáticos têm mostrado como as alterações climáticas podem aumentar a distribuição de doenças transmitidas por microorganismos. O número da população de microorganismos pode ser representado matematicamente por uma equação exponencial. Considere a seguinte situação fictícia: em uma cultura de microorganismos, existem inicialmente 2.000 microorganismos presentes e estimativas mostram que, aumentando em 1ºC a temperatura em relação a temperatura anterior, o número de microorganismos passa a ser três vezes maior.

PASSO 1– Faça a leitura do capítulo 1 – seção 1.2 do PLT e elabore um texto explicando a utilização da função exponencial.

Função Exponencial:

Toda relação de dependência, onde uma incógnita depende do valor da outra, é denominada função. A função exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente. Veja a seguir:

y = 2x

y = 3x + 4

y = 0,5x

y = 4x

f: R R tal que y = ax, sendo que a > 0 e a ≠ 1.

Uma função exponencial é utilizada na representação de situações onde a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e microorganismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo potenciação.

A função f é chamada função exponencial se f(x) = bx onde b é uma constante positiva e x um número real. Neste caso, x é chamado expoente e b a base.

A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a notação:

f: R→R tal que y = a x, sendo que a > 0 e a ≠ 1.

PASSO 2– Considere a situação-problema 2 e obtenha a equação exponencial que relaciona o número de microorganismos em função da temperatura.

Considerando P(função exponencial de t com base a se P=Po . at), Po(condição inicial quando t=0),e a(valor segundo o qual P muda quando t aumenta de 1), teremos:

P = Quantidade total de uma cultura de microorganismos;

Po = Quantidade inicial;

a = Fator de crescimento desta cultura;