CALCULO II do plano tangente

Para determinar o plano tangente necessitamos de duas informações:

1) O Ponto de tangência: P

2) O Vetor Normal ao plano: n

EQUAÇÃO DO PONTO - NORMAL

n = <a,b,c>

a.(x-x0) + b.(y-y0) + c.(z-z0) = 0

EQUAÇÃO DO PLANO TANGENTE

Para duas variáveis: f(x,y)

fx(p0).(x-x0) + fy(p0).(y-y0) –(z-z0) = 0

Para três variáveis: (f(x,y,z)

fx(p0).(x-x0) + fy(p0).(y-y0) + fz(p0).(z-z0) = 0

Onde fx, fy e fz são as componentes normais (tangentes

EXEMPLO 1:

f(x,y) = x2 . y p = (2,1,4)

Determine a equação do plano tangente ao ponto p.

fx(p0).(x-x0) + fy(p0).(y-y0) –(z-z0) = 0

fx = 2xy

fy = x2

fx(p) = 2.2.1 = 4

fy(p) = 22 = 4

4.(x-2) + 4.(y-1) –(z-4) = 0

EXEMPLO 2:

f(x,y,z) = 4x2 – y2 + 3z2 p = (1,5,2)

Determine a equação do plano tangente ao ponto p.

fx(p0).(x-x0) + fy(p0).(y-y0) + fz(p0).(z-z0) = 0

fx = 8x

fy = -2y

fz = 6z

fx(p) = 8.1 = 8

fy(p) = -2.5= -10

fz(p) = 6.2= 12

8.(x-1) - 10.(y-5) + 12.(z-2) = 0

EXERCÍCIOS:

Determine as equações dos planos tangentes a seguir:

f(x,y) = 3x – 2x2 + 2y3 p = (1,3, 2)

f(x,y) = 2x3y2 + 3xy3 -2y2 + 2 p =(2,5,-1)

f(x,y) = x½ - 3xy + y4 - 2y p= (2,2,-2)

f(x,y,z) = 2x2y -2x3z2 +3yz2 + 27 p = (4, 5, 3)

g(x,y,z) = -2x2zy + 3xyz3 + 2y2z – 5z2 – z -1

p = (4,4,-4)