Logica Matematica

Lógica Matemática

Índice

 Introdução a representação de conjuntos

 Álgebra de Conjuntos

 Operações

1. União

2. Intersecção

3. Disjuntos

4. Diferença

5. Complemento ou Complementar

6. Cardinalidade

7. Produto Cartesiano

 Distributividade dos conjuntos

 A lógica proposicional

 Proposições

 Sintaxe da lógica proposicional

 Semântica da lógica proposicional

 Tabelas - Verdade

1. Negação

2. Conjunção

3. Disjunção

4. Implicação

5. Bi-implicação

 Referências

As principais formas de representação de um conjunto são:

 Por extenso: A = {0, 1, 3};

 Por descrição: P = {x | x é par};

 Por diagrama de Venn-Euler:

Um conjunto pode ter um número finito de elementos (conjunto finito), como o conjunto A ou o conjunto D acima, ou pode ser formado por infinitos elementos (conjunto infinito), como o conjunto P acima ou um conjunto numérico.

Além disso, um conjunto pode ser unitário, quando possui apenas um elemento:

Y = {x | x é par e é primo} = {2}.

Ou pode ser vazio, caso não haja nenhum elemento com a característica procurada:

W = {x | x é par e ímpar}.

Há ainda, na resolução de problemas e equações, o conjunto que deve conter todas as soluções possíveis, o conjunto universo.

ÁLGEBRA DE CONJUNTOS

Consideremos (informalmente) que uma álgebra de Conjuntos é constituída de operações definidas sobre conjuntos.

Relações e Operações entre conjuntos não são a mesma coisa. Enquanto que as relações são essencialmente formas de comparar conjuntos, as operações são formas de se criar novos conjuntos a partir de conjuntos já existentes. Ou seja, uma operação entre conjuntos sempre gera um novo conjunto como resposta.

Conjunto é uma coleção de objetos

• Ex: ,

o é uma coleção de números, é uma coleção de cores

o Logo são conjuntos

Seja um conjunto:

• , significa que é um elemento de .

• , significa que não é um elemento de .

Operações:

União

A união de dois conjuntos é a reunião dos seus elementos, se algum elemento estiver repetido na inclusão, será contado uma única vez, assim:

•

• ao qual são três conjuntos disjuntos

Exemplos:

•

•

Intersecção

A intersecção de dois conjuntos é a reunião dos elementos que estão em ambos, assim:

•

Exemplos:

•

•

Disjuntos

Dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção dos conjuntos é o conjunto vazio, ou seja, quando seus elementos são distintos.

• são disjuntos.

Exemplos:

• . Logo A não é disjunto dele próprio.

• . Logo A,B não são disjuntos.

• Logo A,B são disjuntos.

Diferença

A diferença de dois conjuntos é a exclusão dos elementos do segundo conjunto que estão no primeiro, assim:

• .

Exemplos:

• .

•

•

Complemento ou Complementar

É um modo diferente de ver a diferença de dois conjuntos

•

Cardinalidade

• Cardinalidade é o número de elementos do conjunto.

Representação:

n(A) = 3 - (o número de elementos do conjunto A = {0, 1, 3} é 3)

Cardinalidade da união:

n(A B) = n(A) + n(B) - n(A " B)

O número de elementos da união de dois conjuntos é igual à soma do número de elementos de cada conjunto, menos a quantidade de elementos repetidos.

Produto Cartesiano

Exemplo: dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5}, o produto cartesiano de A por B é o conjunto formado por todos os pares possíveis formados com os elementos de A e de B. Esses pares são chamados de ordenados, pois cada um é