A Equação Euler

Solução Equação Euler – Bernoulli Viga

[Feito o resumo] “De todos os possíveis caminhos ao longo dos quais um sistema dinâmico pode movimentar-se de um ponto para outro, em um intervalo de tempo, o caminho efetivamente seguido é aquele que minimiza a integral” integral de T – U que é a energia cinética – a energia potencial era a Lagrangiana ou o lagrangiano, no caso e se formos pensar que na verdade da integral anterior para essa integral muda que aqui ao invés de f a gente tem lagrangiano e no lugar de x a gente tem dt, o que a gente vai ter aqui na verdade é del L del q – d dt(del L del q ponto) = 0. Pq justamente o T e o U dependem das coordenadas generalizadas ou no caso da coordenada generalizada que estiver trabalhando. Agora sabemos de maneira geral como minimizar aquela integral, que é uma integral muito importante principalmente pra enunciar o princípio de Hamilton e deduzir a equação de Lagrange, que é a reformulação da mecânica clássica que leva a gente a isso. 

Aplicando esse princípio na equação, obtemos a qual é referida como Equação de Euler-Bernoulli para vigas, nesse caso (título) e os outros temos da equação que são as condições de contorno, decorrem naturalmente do Princípio de Hamilton. O que podemos notar é que duas condições de contorno são necessárias em cada extremidade da viga. A geometria do problema, define estas condições.

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Uma EDP (equação diferencial parcial ou equação de derivadas parciais) é uma equação envolvendo funções de várias variáveis independentes e dependente de suas derivadas. Estas equações surgem naturalmente em problemas de física matemática, física e engenharia. O estudo das equações diferenciais parciais é uma das áreas com mais intensa pesquisa em matemática, despertando interesse também em contextos de matemática pura.

EDPs descrevem fenômenos físicos cujo comportamento depende da posição, tais como eletrostática, eletrodinâmica, eletromagnetismo, dinâmica dos fluidos, difusão do calor, propagação de ondas. Muitas vezes, fenômenos físicos totalmente distintos podem ser modelados por EDPs idênticas.

Para a solução analítica do problema de viga dinâmica, cuja a equação de governo é expressa pela equação, faremos a aplicação do Método de Separação de Variáveis (MSV), por que a proposta de solução desse método consiste no produto de duas funções, uma exclusiva da posição espacial x, denotada W(x) e conhecida como modo de vibração ou como função normal e outra dependente apenas de t, denominada de T(t), como exposto pela equação. Queremos obter os modos normais, isto é, as soluções não-triviais (se existirem) da forma w(x, t) = W(x)T(t). Aplicando isso, temos --- Mas o membro esquerdo da equação só depende de x, e o membro direito só depende de t. A identidade só pode valer se ambos forem iguais a uma constante.

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Seja ω² > 0 essa constante, temos ---- observe que a equação d²T(t) justifica a escolha de uma constante positiva, pois sua solução seria escrita em temos trigonométricos (senos e cosseno). Se fosse negativa, obteríamos soluções exponenciais na forma de (e^x), em que a energia não é conservada. Para essa equação d^4W(x) se a constante fosse negativa, isso aqui seria uma soma e a solução dessa equação envolveria exponenciais complexas; a constante positiva dá soluções harmônicas. Além disso, a aplicação da separação de variáveis resguarda muito da física da aplicação em questão, ao passo que tem na frequência natural 𝜔 sua constante de proporcionalidade ao dividir a equação diferencial parcial em duas equações diferenciais ordinárias em função do espaço e do tempo, tal como pode ser apreciado nas expressões ---- Essa equação aqui que é para uma variável auxiliar 𝛽, que considera a frequência natural e carrega também as características geométricas e constitutivas particulares da viga em questão, do problema que estamos analisando. Só pra explicar o que essa equação quer dizer. E a solução da expressão --- envolve a resolução de duas equações diferenciais ordinárias cujas soluções são generalizadas, ou seja, não consideram um problema particularizado por condições iniciais e de contorno.

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Então, temos essas duas equações e o que nos cabe agora é solucionar elas. Primeiramente vamos pra essa equação.

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Aqui eu apenas reescrevi a equação pra facilitar as contas. Então, como é uma EDO homogênea linear com coeficientes constantes, assumiremos uma solução na forma de e^(gama)t. Explicar essa solução aqui... essas raízes imaginárias poderiam ser escritas como c3 cos e c4sen... só que eu escrevi dessa forma porque mais pra frente a gente vai mexer nela.  

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Agora vamos solucionar essa equação aqui.

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É o mesmo processo visto anteriormente.

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Para essa equação T(t) ---- a presença dessas duas constantes, 𝐴 e 𝐵, são determinadas uma vez que conhecidas as condições iniciais impostas ao caso. Lembra que eu falei anteriormente que queremos trabalhar com funções periódicas e harmônicas? Então, essa solução não é legal para trabalharmos. Vamos dar uma olhada nela melhor e tentar “eliminar” essas exponenciais e exponenciais complexas.

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Aqui, demonstra-se que uma combinação linear de funções exponenciais reais e complexas leva ao mesmo resultado que uma combinação linear de funções trigonométricas e hiperbólicas. Considere uma função real dada por “psi” ψ(x) = c1 cos βx + c2 sin βx + c3 cosh βx + c4 sinh βx. Relembra-se, agora, as seguintes identidades matemáticas

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Substituindo-se estas identidades na definição de ψ(x) acima, chega-se à seguinte expressão...

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Onde C1, C2, C3 e C4 são constantes diferentes em cada caso, ou seja, 4 constantes que teremos que determinar que é o mesmo número das condições de contorno que devem ser impostas ao problema de uma viga e as frequências naturais da viga podem ser determinadas a partir dessa equação ---. A função W (x) é conhecida como o modo normal ou função característica da viga e ω é a frequência natural de vibração. Para qualquer viga, haverá um número infinito de modos normais com uma frequência natural associada a cada modo normal. As constantes desconhecidas C1 a C4 na Eq. e o valor de β na Eq. (11.38) pode ser determinado a partir das condições de contorno conhecidas da viga. Se a i-ésima frequência natural for denotada como ωi e o modo normal correspondente como Wi (x), a resposta de vibração livre total da viga pode ser encontrada superpondo os modos normais como --- onde as constantes Ai e Bi podem ser determinadas a partir das condições iniciais da viga. Mas pq um somatório? Pq as formas normais de uma viga satisfazem a condição de ortogonalidade, ou seja, são ortogonais entre si e juntamente com as condições iniciais de contorno, permite determinar Ai e Bi na solução em série de Fourier, para um deslocamento arbitrário.