A Introdução ao Cálculo Diferencial

A derivada e as funções marginais

Vamos começar esta aula propondo um desafio.

Desafio: Você é o gerente de uma empresa que fabrica um determinado produto. O número de unidades produzidas (x) e o seu custo de produção (C) foram registrados na tabela abaixo:

[pic 1]

Com base nas informações acima, você precisa avaliar a taxa de variação média do custo de produção quando o número de unidades produzidas varia de 50 a 60 unidades e estimar o custo de produção da sexagésima primeira unidade antes de autorizar essa operação.

Resposta ao Desafio: Inicialmente, vamos obter a função que relaciona as variáveis x e C.

Para isso, podemos fazer uso das planilhas do Excel, por meio do algoritmo descrito a seguir:

1	Digite as duas colunas (número de unidades produzidas e custo de produção), com os respectivos dados da tabela acima, nas colunas A e B da planilha do Excel.
2	Selecione os dados digitados nessas colunas, incluindo os seus títulos, e clique no assistente gráfico (pela [Barra de ferramentas] ou pelo comando [Inserir]).
3	Opte pelo gráfico do tipo DISPERSÃO (XY) e, depois, escolha um subtipo; finalize o gráfico, clicando em [Concluir].
4	Clique com o mouse sobre a linha do gráfico; aparecerão, em seguida, quadrados amarelos sobre a curva que representa o gráfico.
5	Com o botão direito do mouse, clique sobre um dos quadrados amarelos e escolha a opção [Adicionar linha de tendência]; escolha um dos modelos sugeridos (linear, polinomial, exponencial etc.), de acordo com as características do traçado da curva. Nesse caso, escolha [Polinomial] de grau 2 (no campo [Ordem]), visto que o gráfico da função se aproxima de um arco de parábola.
6	Na aba [Opções], selecione [Exibir equação no gráfico] e, depois, clique em [OK], para finalizar.

A lei funcional (função) obtida é y = 30 x2 + 100x + 5.000 ou, representando y como C(x), temos:

C(x) = 30 x2 + 100x + 5.000

O fato de conhecermos a lei funcional nos permite investigar questões relevantes para a situação abordada.

Taxa de variação média

Dada uma função y = f(x), dizemos que a sua taxa de variação média, quando x varia de até , é dada pela seguinte razão:

[pic 2]

Agora, retornemos com a função anterior: C(x) = 30 x2 + 100x + 5.000

Observe os exemplos:

Exemplo 1

A partir da função, determine a taxa de variação média de produção quando esta varia de 50 para 60 unidades produzidas e interprete o resultado obtido.

1º A taxa de variação média do custo de produção quando x varia de x1 = 50 unidades produzidas para x2 = 60 unidades produzidas será obtida pela razão C(60) - C(50) .
                                                                                                                                                       60 – 50

2º Calcule o custo de produção de 60 unidades, C(60):

[pic 3]

3º Calcule o custo de produção de 50 unidades, C(50):

[pic 4]

Assim, temos que a taxa de variação média solicitada é:

[pic 5]

Isso significa que, quando aumentamos a produção de 50 para 60 unidades, cada uma das 10 unidades acrescentadas custará, em média, para a empresa, R$ 3.400,00.

Exemplo 2

Determine a taxa de variação média de produção quando esta variar de 60 unidades para 61 unidades e interprete o resultado obtido.

1º A taxa de variação média do custo de produção quando x varia de 60 para 61 unidades produzidas é:

[pic 6]

2º Observe que o valor encontrado corresponde ao custo específico da 61ª (sexagésima primeira) unidade.

Algumas vezes não podemos prever o custo de produção de uma determinada quantidade; somente após a sua efetiva produção podemos dimensionar o valor real desse custo. Nesse caso, aparece a necessidade de se projetar um valor para o custo de produção de uma unidade específica, antes de dispormos do custo total, incluindo tal unidade.

 3º Temos que calcular o valor da taxa de variação solicitada sem utilizar o custo de fabricação de 61 unidades, cuja representação é C (61). Para isso, consideremos h como sendo o acréscimo a ser dado na quantidade já conhecida, nesse caso, x = 60.

 4º Assim, passaremos a produzir x = 60 + h. A taxa de variação média, então, será dada por:

[pic 7]

A seguir, vamos desenvolver C(60 + h).

    5º Na função C(x) = 30x2 + 100x + 5.000 (custo de produção de x máquinas), substituímos x por (60 + h), conforme o cálculo abaixo:

[pic 8]

6º Fazendo C(60 + h) - C(60) obtemos:

[pic 9]

Retomando a taxa de variação, temos:

[pic 10]

Considerando que, no momento em que estamos avaliando esse nível de produção, ou seja, 60 unidades, não existe variação no número de unidades produzidas, portanto podemos dizer que o parâmetro h tende a ser igual a zero.