A Solução de Sistemas Lineares

SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL

MINISTERIO DA EDUCAÇÃO

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

CAMPUS TUCURUÍ

ENGENHARIA DA COMPUTAÇÃO

ALAN PEREIRA VALENTE

DANILO DE SOUSA LOPES 

System Solution

TUCURUÍ-PA

2019

DANILO DE SOUSA LOPES

ALAN PEREIRA VALENTE

        

System Solution

Trabalho apresentado a Universidade Federal do Pará – UFPA – Campus Tucuruí na disciplina de Álgebra Linear, sob orientação do professor Daniel Pinheiro, como requisito para a obtenção parcial de nota na referida disciplina.

TUCURUÍ-PA

2019

SUMÁRIO

1 - INTRODUÇÃO        4

2 - COMO FUNCIONA O SOFTWARE SYSTEM SOLUTION        4

3 - PROPOSTA DE APLICAÇÃO DO SOFTWARE SYSTEM SOLUTION        6

3.1 - Resolução Convencional        7

3.2 - Resolução com o System Solution        7

4 - CONCLUSÃO        10

APÊNDICE        11

SYSTEM SOLUTION

1 - INTRODUÇÃO

A utilização de sistemas lineares para modelamento de problemas do dia a dia é algo fundamental em algumas situações e essa técnica vem acompanhando a humanidade durante bastante tempo, chagando a ter indícios desde o século 11 a.C. Com passar do tempo, diversos procedimentos matemáticos foram desenvolvidos para tornar a resolução de sistemas lineares mais eficaz, a tecnologia e computação por sua vez, não ficaram de fora, seus avanços contribuíram significativamente parar tornar alguns processor autônomos  e possibilitar soluções para sistemas antes enfadonhos e impossíveis de resolver com os métodos antigos.

        Este trabalho tem como objetivo, apresentar o software “System Solution” que consiste em uma ferramenta, para a resolução de sistemas lineares. O mesmo utiliza o método de escalonamento de Gauss, aperfeiçoado com laços de repetição, para resolver sistemas com n variáveis, o que muita das vezes se tornar um processor muito trabalhoso quando feito manualmente.

        O software busca ser o mais didático possível, apresentando ao fim de sua execução três resultados, a classificação do sistema, a matriz identidade e o resultado das variáveis. O mesmo é apenas um protótipo, portanto apresenta algumas limitações como calcular apenas matrizes quadradas, apresentar um processo de inserção de dados ainda manual, dentre outros.

        É importante destacar que o software, embora limitado em alguns pontos, é muito eficaz na resolução de sistemas lineares e possibilita um grande auxilio no processo de resolução do mesmo, tendo em vista que é apresentado um caminho até chegar na resposta.

2 - COMO FUNCIONA O SOFTWARE SYSTEM SOLUTION:  

        

O método de resolução utilizado é uma adaptação computacional do método de resolução de Gauss (Escalonamento). Entretanto é importante destacar a que a partir deste momento, os sistemas serão tratados no seu formato matricial.

        A ideia principal dessa forma de resolução consiste na transformação do triangulo inferior e superior em valores zerados, ou seja, ao final teremos os dois triângulos preenchidos com zero, nos restando apenas o vetor de termos independentes e a diagonal principal da matriz preenchida por 1. Portanto teremos apenas os termos independentes e a matriz identidade, isso pode ser visto claramente no exemplo mais abaixo.

         Para este procedimento ser realizado é utilizado o pivoteamento parcial. Onde o software escolhe o maior valor em modulo que se encontra na primeira coluna, da matriz ampliada do sistema. Feito isso, se a linha onde se encontra o pivô for a primeira ela permanecera sendo a primeira, caso contrário a linha onde se encontra o pivô será substituída no lugar da primeira linha e a linha sobreposta será guardada em uma variável auxiliar, e fara o processo inverso ou seja, ira sobrepor a antiga linha do pivô. Confira o código abaixo:

[pic 2]

Feito este procedimento partimos para o escalonamento em si, onde o triângulo inferior da matriz é zerado. Para realizar este procedimento o software utiliza um método geral, o mesmo calcula uma constante entre o pivô (elemento da coluna 1 linha 1, após o pivoteamento) e o elemento que se encontra da linha 2, coluna 2, ou seja, abaixo do pivô. De modo geral do elemento que precisa ser zerado, será acrescido a constante vezes o pivô. Observe no código abaixo:

[pic 3]

        Os processos anteriores, devido ao fato de estarem trabalhando dentro de laços de repetição, serão repetidos conforme o tamanho da matriz que o sistema linear gerar. A partir disto, o triangulo inferior será zerado, evitando com que seja necessário o processor ser repedido para o triangulo superior, da feita que o software utiliza a retrosubstituição de Gauss, de maneira geral, quando zerado a ultima linha do sistema, os valores que ainda permanecem, se referem ao valo afrente da variável que se deseja encontrar, por exemplo: supondo que tenhamos uma matriz quadrada, logo as variáveis possíveis serão x e y, quando na ultima linha o valor de x é zerado apenas o valor de y, supondo que o valor seja 3 e o vetor coluna de termos independentes seja de 24 e 12, para y termos:

5x + y = 24

0x + 3y=12

Para y teremos: 3y= 12 => y= 12/3 => y=4;

Para x teremos: 5x + y= 24 => 5x + 4= 24 => 5x= 24-4 => 5x= 20 => x= 20/5 => x= 4;

Portanto podemos perceber que este procedimento é equivalente ao fato de zerarmos também o triangulo superior, isso nos faz encontrarmos a resposta de uma forma mais eficaz, contribuindo para a realização de menos processos da máquina. Observe no código a baixo:

[pic 4]

O quadro de resultados ao fim, apresenta uma matriz identidade por mera conveniência e didática ao ser apresentado para um usuário comum. A classificação do sistema linear é feita através do calculo do posto da matriz reduzida, matriz ampliada e número de incógnitas que é o mesmo numero de colunas da matriz. A partir disso as regras com relação ao posto da matriz são analisadas e conforme elas o sistema é classificado.