Algebra: Determinantes

Passo 1

Determinantes

Determinante de uma matriz quadrada é um operador que transforma essas matrizes em um número real.

Para uma matriz quadrada de ordem 1 é o próprio elemento.

Se A = (-12) então o det A = |-12| = -12

Se B = (5/8) então o det B - |5/8| =5/8

Note que as barras substituem os parênteses e existe o “det”.

Para as matrizes de ordem 2, o determinante é igual à diferença entre o produto dos elementos da diagonal secundária.

Exemplo:

Dada a matriz A= 4 -5

3 10

O determinante é:

4 -5 = 4 x 10 – (-5) x 3 = 40 + 15 = 55

3 10

Para determinantes de ordem 3 pode-se usara a regra de Sarrus:

Dada a matriz de ordem 3:

det A = a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a) Repetem-se as duas primeiras colunas

det A= a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

b) Multiplicam-se os elementos das linhas paralelas a diagonal principal somando-se entre si:

det A = a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

c) Do total, diminui-se a multiplicação dos elementos das linhas paralelas a diagonal secundária.

det A= a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

d) Somado-se os seis termos, temos o determinante.

Exemplo:

det A = 3 10 4

2 8 7

6 -1 -1

det A = 3 10 4 3 10

2 8 7 2 8

6 -1 -1 6 -1

det A = 3 x 8 x (-1) + 10 x 7 x 6 + 4 x 2 x (-1) – 6 x 8 x 4 - (-1) x 7 x 3 - (-1) x 2 x 10

det A = 24 + 420 – 8 – 192 + 21 + 20 = 237

Passo 2

Matriz de ordem 2 x 2

A = -2 3

-78 8

det A = -2 3 = -16 – (- 234)

-78 8 -16 + 234 = 218

Matriz de ordem 3 x 3

A = 0 3 1

-1 5 4

6 -9 7

det A = 0 3 1 = (0 + 9 + 7) – (30 – 0 – 21)

-1 5 4 16 – 9 = 7

6 -9 7

Passo 3

Propriedades de um determinante

As propriedades envolvendo determinantes facilitam o cálculo de seu valor em matrizes que se enquadram nessas condições. Observe as propriedades:

1ª Propriedade

Ao observar uma matriz e verificar que os elementos de uma linha ou coluna são iguais a zero, o valor do seu determinante também será zero.

B = -1 2 9 = det B = 0

4 7 10

0 0 0

2ª Propriedade

Caso ocorra igualdade de elementos entre duas linhas ou duas colunas, o determinante dessa matriz será nulo.

B = -1 2 9 = det A = 0

4 7 10

-1 2 9

3ª Propriedade

Verificar em uma matriz duas linhas ou duas colunas com elementos de valores proporcionais, o determinante terá valor igual a zero.

P = 2 4 6 = det P = 0

4 8 12

-1 2 9

4ª Propriedade

Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz por um número K, o seu determinante fica multiplicado por K.

P = 7 4 6 = det P = 388

2 6 10

1 2 9

P’= 7x2 4x2 6x2 = det B = 0 14 8 12 = det P’ = 388