Calculo diferencial

05/04/2016

Função real de variável real

Grandeza variável: chama-se grandeza variável a uma grandeza susceptível de tomar diferentes valores numéricos

Grandeza constante é uma variável cujos divesos valores numéricos são todos iguais

Domínio de definição duma variável: é o conjunto dos valores numéricos que a variável pode tomar.

Exemplos

1. A variável [pic 1]toma valores compreendidos entre -1 e 1 i.e. [pic 2]
2. A variável [pic 3]toma valores compreendidos entre -2 e 2 i.e. [pic 4]

Intervalo aberto: é o conjunto de todos os números x compreendidos entre a e b (a[pic 5] ou pelas desigualdades [pic 6].

Exemplo: [pic 7]. A variável x está compreendida entre –1 e 1, (-1,1)  i.e. [pic 8].

Segmento ou intervalo fechado de extremidades a e b: Conjunto de todos os números x compreendidos entre os dois números a e b, sendo que estes números a e b pertencem ao conjunto e designa-se por [pic 9]

Exemplo:[pic 10]

Semi-intervalo aberto: Se um dos números a ou b pertence ao intervalo e o outro não pertence tem-se o semi-intervalo aberto [pic 11]

[pic 12]

Intervalos e semi-intervalos infinitos

[pic 13], [pic 14],[pic 15]

Vizinhança dum ponto x0 é todo o intervalo aberto [pic 16] contendo este ponto tal que [pic 17], onde x0 é o centro de vizinhança e [pic 18] é o raio de vizinhança

Vizinhança do centro x0 e raio [pic 19]Ɛ: (x0- Ɛ, x0+ Ɛ)

Variável

1. Variável ordenada: a variável é ordenada quando se conhece o domínio de definição e em cada par pode-se indicar o antecedente e o consequente.

Exemplo: x1, x2, x3,...., xn,.....

1. Variável crescente: diz-se crescente se cada valor consequente é maior que o seu antecedente.
2. Variável decrescente: diz-se decrescente se em cada par o valor consequente é menor que o antecedente
3. Variáveis monótonas: são variáveis crescentes ou decrescentes
4. Variável limitada: uma variável diz-se limitada se exixte [pic 20]tal que a partir dum certo valor verificam-se as desigualdades [pic 21]

Função: y é função de x se a cada valor de x de um certo domínio corresponde um valor de y e escreve-se [pic 22] ou [pic 23]ou [pic 24], onde x é variável independente e y variável dependente

Domínio de definição da função: Conjunto dos valores x para os quais a função y existe.

Exemplos:

1. [pic 25], o domínio de definição é [pic 26]ou [pic 27]
2. [pic 28] o domínio de definição é [pic 29]ou [pic 30]

Função crescente

[pic 31]é crescente se a um maior valor da variável independente x corresponde a um maior valor da variável dependente  y.

Exemplo [pic 32]

Função decrescente

[pic 33]é decrescente se a um maior valor da variável independente x corresponde a um menor valor da variável dependente  y.

Exemplo: [pic 34]

Representação

1. Em tabelas

[pic 35]	0	30	45	60	90
[pic 36]	1	[pic 37]	[pic 38]	0[pic 39]	0
[pic 40]	0	[pic 41]	[pic 42]	[pic 43]	1

1. Gráfica

Abcissas: valores da variável independente x

Ordenadas: valores correspondentes da função y, chama-se gráfico

1. Analítica

Chama-se expressão analítica à notação simbólica do conjunto de operações matemáticas (adição, subtracção, multiplicação, divisão, radiciação, etc...) que se deve aplicar numa certa ordem às grandezas constantes ou variáveis.

Sejam as expressões analíticas: [pic 44], [pic 45],.... se a dependência funcional for [pic 46] então [pic 47], [pic 48]

I – Funções elementares principais

1. Função potência: [pic 49],
2. Função exponencial [pic 50]
3. Função logarítmica: [pic 51]
4. Funções trigonométricas: [pic 52], [pic 53], [pic 54], [pic 55]
5. Funções trigonométricas inversas: [pic 56], [pic 57],  [pic 58], [pic 59]

II – Funções algébricas

As funções algébricas compreendem:

1. Função racional inteira ou polinómio: [pic 60]
2. Fracções racionais: quaciente de dois polinómios [pic 61]
3. Função irracional: [pic 62] é irracional se [pic 63]for resultado das operações multiplicação, divisão e de elevação a uma potência racional não inteira: [pic 64]

Propriedades fundamentais da função

1. Função par: uma  função diz-se par se [pic 65]
2. Função ímpar: uma  função diz-se ímpar se [pic 66]
3. Função periódica: uma função diz-se periódica se [pic 67]

Exemplos: [pic 68]  [pic 69]

Limite duma função num ponto

1. Limite duma grandeza variável: O número constante a chama-se limite da grandeza variável x se para todo e qualquer número arbitráriamente pequeno Ɛ>0 pode se ter x tal que [pic 70]e escreve-se [pic 71].

Exemplo: [pic 72][pic 73], [pic 74],....., [pic 75] mostrar que limite é igual a 1. Far-se-á [pic 76] para Ɛ>0 arbitrário, todos os valores a partir de n definido pela relação [pic 77] ou [pic 78]verifica-se a desigualidade [pic 79]