EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINAIS (EDO) NA ENGENHARIA

1. INTRODUÇÃO

Equações diferenciais são descritas como aquelas que possuem uma função desconhecida e algumas de suas derivadas (STEWART, 2013).

Segundo Zill e Cullen (2001), as equações diferenciais são a base matemática para diversos segmentos da ciência, incluindo a engenharia.

Uma das aplicações das equações diferenciais é no movimento harmônico amortecido.

O movimento harmônico amortecido (MHA) é aquele em que a oscilação de um corpo é reduzida pela atuação de uma força externa. Como pode ser verificado através da oscilação de um pêndulo na água e no ar: na água a força de arrasto rapidamente cessa o movimento do pêndulo, enquanto a resistência do ar age de forma mais vagarosa (HALLIDAY,RESNICK E WALKER, 2009).

O MHA pode ser de três tipos: amortecimento subcrítico, amortecimento crítico ou amortecimento supercrítico.

No presente trabalho, pretende-se utilizar os conhecimentos sobre equações diferenciais ordinárias para desenvolver um modelo que represente uma situação problema que envolva o movimento harmônico amortecido.

1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINAIS (EDO) NA ENGENHARIA

Como dito acima as EDO’s, são amplamente aplicadas em ramos da ciência. Até o presente momento elas foram estudadas na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral III.

Na disciplina de Física II, por exemplo, elas foram utilizadas para se determinar a equação unidimensional da onda com velocidade de propagação “v”:

[pic 1]

Em Físico-Química, as EDO’s são empregadas na cinética química em que a velocidade de uma reação geral:

[pic 2]

em que o consumo da espécie a varia com o tempo e depende de uma constante cinética k, pode ser descrita como

[pic 3]

1. SITUAÇÂO PROBLEMA

O movimento harmônico amortecido encontra-se presente em diversos sistemas de amortecimento presentes no dia-dia.

Por exemplo, o amortecedor de um carro, bicicleta, o dispositivo que diminui as vibrações numa raquete de tênis, portas do tipo “vai e vem” em hospitais, amortecimento de vibrações de abalos sísmicos em prédios, sistemas de amortecimento para as diversas vibrações em um helicóptero, etc.

Para facilitar o entendimento do funcionamento desse sistema, será descrita a oscilação de um sistema massa-mola que é amortecida por líquido.

Há distintas formas de se caracterizar amortecimento, levando em consideração a viscosidade do fluido (HALLIDAY,RESNICK E WALKER, 2009).:

• Amortecimento subcrítico – diminuição da oscilação de forma lenta e gradual, resultando em um amortecimento fraco, utilizando um fluido de baixa viscosidade, como a água;
• Amortecimento crítico – sistema alcança rapidamente à posição de equilíbrio quando é colocado para oscilar, utilizando um fluido de viscosidade intermediária, como um sabão líquido;
• Amortecimento supercrítico – o sistema se move de forma ainda mais lenta que os demais, demorando mais para reestabelecer sua posição de equilíbrio quando é posto para oscila, utilizando um fluido de alta viscosidade, como um shampoo.

Levando em consideração os conceitos anteriores, um bloco de massa 2,00kg, suspenso por uma mola de constante elástica 6,00 N/m e submetido a uma constante de amortecimento 0,31kg/s. Determine a equação diferencial que representa esse sistema e encontre a sua solução.

1. DESCRIÇÃO E CONSTRUÇÃO DO MODELO

A figura abaixo representa um sistema massa-mola, colocado em oscilação, em que um bloco de massa “m”, fixo em uma superfície imóvel por uma mola de constante elástica “k”, com uma palheta imersa em um líquido que gera uma constante de amortecimento “b” (HALLIDAY,RESNICK E WALKER, 2009).

Figura 1: Sistema massa-mola amortecido.

[pic 4] 

Fonte: (HALLIDAY,RESNICK E WALKER, 2009).

Segundo Halliday, Resnick e Walker, 2009 e Stewart (2013), supõe-se que a força de amortecimento (Fa) seja proporcional á velocidade da massa e atue na direção oposta a movimento. Assim:

.                                        [pic 5]

        

Sabendo-se que a função da velocidade é a derivada primeira da equação da posição em relação ao tempo, pode-se escrever a Equação 1 da forma:

[pic 6]

        A força elástica da mola (Fe) depende da constante da mola e do deslocamento sofrido por ela (unidades que é comprimida ou esticada a partir do seu tamanho natural), tratando-se de uma força restauradora, ou seja, oposta ao movimento:

                                        [pic 7]

        A segunda Lei de Newton diz que a força resultante (F) que atua em um corpo é igual ao produto de sua massa (m) pela aceleração (a) que assume.

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