Lista de exercícios Principios de Tlecomunicações

1. Uma vari´avel aleat´oria X possui uma distribui¸c˜ao de Cauchy se a sua fun¸c˜ao densidade de probabilidade

(fdp) ´e dada por

p(x) = (a/π)

x

2 + a

2

, −∞ < x < ∞

Determine a m´edia e a variˆancia da vari´avel aleat´oria X.

2. Sejam x(t) e y(t) dois processos estacion´arios no sentido amplo (ESA) independentes. Definindo-se

z(t) = x(t)y(t). Determine se z(t) ´e ESA e mostre a seguinte rela¸c˜ao entre as densidades espectrais de

potˆencia:

Sz(f) = Sx(f) ∗ Sy(f)

3. Um processo ESA gaussiano x(t) tem m´edia nula e densidade espectral de potˆencia (DEP) Sx(f). O

processo x(t) ´e aplicado na entrada de um filtro linear e invariante no tempo com resposta ao impulso

h(t) dada abaixo. Obt´em-se uma vari´avel aleat´oria y amostrando-se a sa´ıda do filtro no instante t = T.

h(t) = n 1/T , 0 ≤ t ≤ T

0 caso contr´ario

(a) Determine a m´edia e a variˆancia de y.

(b) Qual a fdp de y?

4. Um processo estoc´astico x(t) ´e definido por x(t) = A cos(2πfct), sendo que A ´e uma vari´avel aleat´oria

gaussiana com m´edia zero e variˆancia σ

2

A

. Este processo ´e aplicado na entrada de um integrador ideal,

produzindo na sa´ıda

y(t) = Z t

−∞

x(τ )dτ

(a) Determine a fdp da sa´ıda y(t) em um instante particular tk.

(b) Determine se o processo y(t) ´e ESA.

5. A sa´ıda de um oscilador ´e descrita por um processo estoc´astico x(t) = A cos (2πf t − θ), sendo que A

´e uma constante e f e θ s˜ao vari´aveis aleat´orias independentes. A vari´avel aleat´oria θ ´e definida por:

pθ(Θ) = n 1/(2π) , 0 ≤ Θ ≤ 2π

0 caso contr´ario.

Determine a DEP de x(t) em termos da fdp de f. O que acontece se f assume um valor constante?

6. Um processo estoc´astico z(t) ´e definido da seguinte forma:

z(t) = x cos (2πfct) − y sin (2πfct),

em que x e y s˜ao vari´aveis aleat´orias. Mostre que z(t) ´e ESA se E{x} = E{y} = E{xy} = 0 e

E{x

2} = E{y

2} = σ.

7. Um sinal x(t) ´e transmitido atrav´es de um canal de comunica¸c˜ao cujo efeito consiste em adicionar

ru´ıdo n(t). O sinal recebido ´e da forma y(t) = A[x(t) +n(t)]. Sabe-se que x(t) ´e um processo aleat´orio

de m´edia nula e fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao:

Rx(t1, t2) = 2e

−|t1−t2|

.

1

O ru´ıdo n(t) tamb´em ´e um processo aleat´orio de m´edia nula, independente de x(t) e possui fun¸c˜ao de

autocorrela¸c˜ao:

Rn(t1, t2) = sinc[π(t1 − t2)]

4

.

Determine o ganho A do amplificador de tal modo que o erro m´edio quadr´atico, E[(y(t) − x(t))2

],

cometido ao estimar x(t) pela sa´ıda y(t) do amplificador, seja m´ınimo.

8. Um processo x(t) tem m´edia η(t) e autocorrela¸c˜ao Rx(t1, t2). O processo x(t) passa por um filtro

linear cuja sa´ıda ´e dada por:

y(t) = x(t) − x(t − T),

sendo T uma constante.

(a) Determine a m´edia e a autocorrela¸c˜ao de y(t). Se x(t) ´e ESA, pode-se afirmar que y(t) ´e ESA?

(b) Prove que, se o processo x(t) ´e ESA, a seguinte rela¸c˜ao ´e v´alida:

Sy(f) = 4 sin2

(πfT)Sx(f).

9. Determine se os seguintes sinais s1(t) e s2(t) s˜ao ortogonais no intervalo −1, 5T2 < t < 1, 5T2, com

f2 = 1/T2:

s1(t) = A cos (2πf1t + φ1), s2(t) = A cos (2πf2t + φ2),

para os seguintes casos:

(a) f1 = f2 e φ1 = φ2.

(b) f1 = f2/3 e φ1 = φ2.

(c) f1 = f2 e φ1 = φ2 + π/2.

10. Determine uma constela¸c˜ao para os seguintes sinais definidos no intervalo de (0, T):

s1(t) = r

2Es

T

cos (2πfct), s2(t) = r

2Es

T

cos (2πfct − π/3).

(a) Obtenha a energia m´edia de cada sinal e distˆancia euclidiana entre eles (distˆancia entre os vetores

no espa¸co de sinais).

(b) Obtenha