O Cálculo Diferencial e Integral II

UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ - UNITAU

DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e Integral II        3ºVesp                PROFESSOR: Airton Prati

Trabalho 3 do 1º Semestre de 2015

1. Calcule as derivadas parciais usando a regra da cadeia I ou II conforme ocaso.

a) [pic 1]; [pic 2]; [pic 3] e [pic 4]                b) [pic 5]; [pic 6]; [pic 7].

2. Calcule as derivadas parciais das funções implícitas.

a) Suponha que y seja uma função de x e z dada implicitamente pela equação:

[pic 8]

b) Usando o resultado do item (a), encontre [pic 9] e [pic 10] quando x=1, z=0 e y=2.

3. Calcule as derivadas parciais de 2ª ordem das funções[.[pic 11]]

a) [pic 12]                b) [pic 13]

4. As voltagens expressas em volts em  uma certa região do plano foram modeladas através da função [pic 14] com x e y expressos em cm. Pede-se:

a)Traçar a equipotencial para 23 V. Identificar as coordenadas de interseção com os eixos coordenados.

b)Calcular a taxa de variação instantânea da voltagem no ponto (2, 1) na direção e sentido do eixo x.

5. Se resistores elétricos  de [pic 15] ohms são conectados em paralelo para formar um resistor de R ohms, o valor de R pode ser obtido a partir da equação [pic 16].  Calcular [pic 17]sabendo que R1,  R2   e  R3   são respectivamente iguais a 30, 45 e 90 ohms.

6. Numa loja, o lucro diário L é uma função do número de vendedores, x, e do capital investido em mercadorias, y, expresso em milhares de reais. Numa certa época tem-se L expresso em milhares de reais dado por [pic 18].

1. Calcular o lucro diário se a loja tiver 4 vendedores e R$ 30.000,00 investidos.
2. Calcular [pic 19]  e  [pic 20] considerando 4 vendedores e R$ 30.000,00 investidos.
3. É mais lucrativo, a partir da situação do item a, aumentar o número de vendedores,  mantendo o capital investido ou aumentar o investimento mantendo o número de vendedores? JUSTIFICAR A RESPOSTA COM BASE NOS RESULTADOS OBTIDOS NO ÍTEM  b

7. Mostrar que [pic 21]  e  [pic 22] verificam as equações de Cauchy-Riemann definidas por [pic 23][pic 24]  e  [pic 25].

8. Determinar a constante m para que [pic 26] satisfaça a equação do calor dada por [pic 27].

9. Determinar a constante K em função de a, b, c  para que [pic 28] satisfaça a equação 2-dimensional do calor definida por  [pic 29].

10. (a) Se [pic 30] determinar [pic 31] e [pic 32] se  [pic 33].

(b)Se [pic 34] determinar [pic 35] e [pic 36] se  [pic 37].

11. Uma montanha tem a superfície descrita  pela função [pic 38] . Sobre ela quer-se construir uma via férrea, sobre a qual um vagão levará hulha da base ao topo da montanha. Sabe-se que a curva que o vagão percorrerá é descrita pelas equações [pic 39] , [pic 40], [pic 41]. Determinar a componente vertical da velocidade do vagão quando ele passar pelo ponto [pic 42]. Considerar SI.

12. Determinar a taxa de variação de f em P na direção do vetor [pic 43]

1. [pic 44], [pic 45]  e [pic 46]
2. [pic 47], [pic 48] e [pic 49]

13. Calcular a derivada direcional de f no ponto dado com direção indicada pelo ângulo [pic 50].

1. [pic 51], (4,1), [pic 52]
2. [pic 53], (2,0) ,           [pic 54]

14. A densidade de uma distribuição de massa varia em relação a uma origem dada segundo a fórmula [pic 55]. Encontrar a razão da variação da densidade no ponto (1,2) na direção que forma um ângulo de 45º no sentido anti-horário com o eixo positivo dos x. Em que direção a razão da variação é máxima?

15. O potencial elétrico [pic 56]dado em volts em [pic 57]expresso em centímetros é  [pic 58].  Pede-e

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