O DEFINIR E CALCULAR O DETERMINANTE DE MATRIZES
Por: MIRIAM MARTINS • 24/6/2020 • Exam • 604 Palavras (3 Páginas) • 155 Visualizações
Determinantes de Matrizes
Objetivos: Definir e calcular o determinante de matrizes.
1 Introdução
Seja A uma matriz n × n. Recorde que A é não-singular se ela possuir uma
inversa A−1
tal que A · A−1 = In. No entanto, essa nomenclatura não-singular possui
outro significado.
Nos números reais, todo elemento x que não é zero possui um inverso multiplicativo
1
x
(também escrito x
−1
) de forma que x ·
1
x = 1. Por exemplo, o inverso multiplicativo
de 5 é
1
5
. O único número que não possui um inverso multiplicativo é o 0, pois qualquer
outro número multiplicado por zero resulta em zero.
Já sabemos que para matrizes a situação é outra. Algumas matrizes podem não
possuir inversa. Diante disso, fazemos a seguinte pergunta: se tivermos uma matriz
An×n, como saber se ela possui uma inversa ou não?
Para isso, usamos o determinante de matrizes. Primeiro, vamos definí-lo e estudar algumas maneiras para calculá-lo. Depois, vamos ver a relação do determinante
com o inverso de uma matriz.
2 O Determinante de uma matriz 2 × 2
Vamos começar definindo o determinante para matrizes quadradas 1 × 1 e 2 × 2.
O caso mais simples é quando n = 1, ou seja, a matriz A possui apenas uma
entrada:
A = [a11] .
Nesse caso, diremos que o determinante de A é igual ao número a11, ou seja:
det(A) = a11.
Agora, suponha n = 2. Temos a seguinte definição:
1Revisado por: Profa. Flávia Cordeiro e Prof. Gustavo Salgado
Definição 2.1: Determinante de uma matriz 2 × 2
O determinante de uma matriz
A =
"
a11 a12
a21 a22 #
.
é definido por:
det(A) = a11a22 − a21a12.
Ou seja, o determinante de uma matriz 2 × 2 é o produto dos elementos
da sua diagonal principal menos o produto dos elementos fora da diagonal
principal. Isso vale apenas para matrizes 2 × 2.
Exemplo 2.1 O determinante da matriz "
3 2
−1 7 #
é 23:
det " 3 2
−1 7 #! = 3 · 7 − 2 · (−1) = 21 − (−2) = 21 + 2 = 23.
N
Exercício 2.1: Determinantes de matrizes 2 × 2
Calcule o determinante das matrizes:
B =
"
−1 −1
3 3 #
, C =
"
1
2
3
2
−1 2 #
, D =
"
1 0
0 1 #
, E =
"
0 0
0 0 #
F =
"
−
√
3
√
3
1
3
0
#
, G =
"
50 3
3 50 #
, H =
"
−1 1
1 −1
#
, J =
"
5 5
6 6 #
Observação 2.1
Alguns autores escrevem |A| (com barras verticais ao invés de colchetes) para
denotar det(A). Por exemplo, são todos iguais:
det(A) = det "
a11 a12
a21 a22#
=
a11 a12
a21 a22
...