O ESPAÇO VETORIAL

ESPAÇO VETORIAL

1) VETORES NO Rn 

Objetivo: revisar resumidamente a noção de vetor no R2 e R3 e suas propriedades.

Imagine uma força atuando sobre um corpo, esta possui intensidade e direção, e sempre será representada por um vetor.

                                                                  F[pic 1]

          [pic 2][pic 3]

1. Vetores no Plano

Considerando um plano cartesiano que consiste de um sistema de coordenadas dado por um par de retas ortogonais, com orientação. Fixada uma unidade com comprimento, um ponto P do plano pode ser identificado com o par (a, b) de números reais, que são suas coordenadas.[pic 4][pic 5][pic 6]

                                           [pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

Dados dois pontos P e Q do plano, podemos considerar o segmento de reta orientado [pic 11], com ponto inicial P e ponto final Q. Embora o conjunto dos pontos dos segmentos [pic 12] e [pic 13] sejam iguais, como segmentos orientados eles são distintos, são chamados de segmentos opostos. Ex.:

[pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

[pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]

[pic 28] tem a mesma direção; [pic 29]tem o mesmo comprimento; [pic 30] tem o mesmo comprimento, mas os únicos segmentos com orientações equivalentes são [pic 31]. [pic 32][pic 33][pic 34]

Segmentos orientados com ponto inicial na origem são denominados vetores no plano, sendo que são determinados exclusivamente pelo ponto final, pois o ponto inicial é fixo na origem.  Assim para  cada ponto  do  plano  P(a, b),  está associado  um  único  vetor v = [pic 35] e, reciprocamente, dado um vetor, associamos um único ponto do plano, que é seu ponto final. Assim representamos um vetor v = [pic 36]  pelas coordenadas do seu ponto final P(a, b).

Para notação de um vetor usamos  v = (a, b) ou v =  [pic 37][pic 38]

O vetor nulo (que é só um ponto) será representado por (0, 0).

O vetor oposto (mesmo comprimento e direção oposta) de

 v = (a, b), será denotado por w =(-a, -b), onde w = -v.

1.2) Operações com Vetores no Plano

• Adição: A resultante (u + v) de dois vetores é obtida pela chamada lei do paralelogramo.  Se  (a, b)  e  (c, d)  são  extremidades  dos  vetores  u  e  v,  então   (a + c, b + d) será a extremidade de (u + v), como mostra a figura:

[pic 39]

                                                           [pic 40]

 

• Multiplicação por Escalar: O produto ku, de número real k por um vetor u, é obtido multiplicando a magnitude de u por k e mantendo a mesma direção se k ≥ 0 ou a direção oposta, se k < 0. Se (a, b) é a extremidade do vetor u, então (ka, kb) será extremidade do vetor ku, conforme a figura:

[pic 41]

                                                                  [pic 42]

                                               

1.3)  Vetores no Espaço

Da mesma forma que fizemos no plano, podemos considerar vetores no espaço. Teremos um sistema de coordenadas dado por três retas orientadas, perpendiculares duas a duas, e, uma vez fixada uma unidade de comprimento, cada ponto P do espaço estará identificado com a terna de número reais (x, y, z) que dá suas coordenadas.

[pic 43]

  [pic 44][pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

Os vetores também são dados por segmentos orientados, com ponto inicial na origem, e existe uma correspondência biunívoca entre vetores e pontos do espaço que a cada vetor [pic 48] associa o seu ponto final P = (a, b, c). O vetor v = [pic 49] costuma ser denotado pelas coordenadas de P. Assim:

V = {(x1, x2, x3); xi ∈ R}

1.4) Operações com Vetores no Espaço

1.4.1) Igualdade – dois vetores u = ( x1, y1, z1) e v = ( x2, y2, z2) são iguais se, e somente se, x1 = x2 , y1 = y2  e z1 = z2.

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