O Espaço Vetorial

ESPAÇO VETORIAL

1. Introdução

Examinaremos alguns aspectos relacionados com dois conjuntos já estudados anteriormente:

a) O conjunto V dos vetores da geometria, definidos através de segmentos orientados;

b) O conjunto[pic 1] das matrizes reais mxn, onde[pic 2] 

Apesar de parecer que tais conjuntos nada têm em comum, não é bem assim, como mostraremos a seguir.

1.1. Conjunto dos vetores

No conjunto V, está definida uma adição (de vetores), a qual é dotada das propriedades comutativa, associativa, além da existência de elemento neutro (vetor nulo) e do oposto para cada vetor de V. Além disso, podemos multiplicar um vetor por um numero real.

1.2. Conjunto das matrizes

No conjunto [pic 3]está definida uma adição:  a adição de matrizes . Esta adição é associativa, comutativa, admite elemento neutro ( matriz nula) e toda matriz tem uma oposta. Podemos também multiplicar uma matriz por um numero real.

Logo, os conjuntos V e  [pic 4]apresentam uma coincidência estrutural no que se refere a um par importante de operações definidas sobre eles – adição e multiplicação.

Estudaremos, assim, estes dois conjuntos, bem como todos os outros conjuntos que apresentem esta mesma estrutura.

2. Espaços vetoriais

Os espaços vetoriais são os objetos de estudo da Algebra Linear.

Definição: espaço vetorial 

Dizemos que um conjunto [pic 5] é um espaço vetorial sobre R quando, e somente quando:

1. Existe uma adição [pic 6] em V, com as seguintes propriedades:

1. [pic 7]  ( comutativa )
2. [pic 8]    [pic 9]   ( associativa )
3. existe [pic 10] tal que [pic 11], [pic 12]
4. [pic 13] existe [pic 14] tal que [pic 15]

1. Existe uma multiplicação de [pic 16] em V, o que significa que a cada par [pic 17] de [pic 18] está associado um único elemento de [pic 19] que se indica por [pic 20], e para esta multiplicação temos as seguintes propriedades:

1. [pic 21]         [pic 22]
2. [pic 23]    [pic 24] 
3. [pic 25]     [pic 26] 
4. [pic 27]

Para quaisquer [pic 28].

Estamos fazendo um estudo sobre o conjunto dos numeros reais, no entanto, de maneira análoga se define espaço vetorial sobre ℜ, conjunto dos numeros complexos.

Exemplos de espaços vetoriais:

1. espaço vetorial ℜ
2. espaço vetorial  C
3. conjunto dos vetores da geometria definidos por meio de segmentos orientados
4. conjunto das matrizes [pic 29] 
5. espaçoℜn 
6. espaço dos polinômios [pic 30] 

Comentário: O nome “vetor” é aplicado aos elementos do conjunto V mais por conveniência.

Exemplo: Seja [pic 31]

[pic 32]  para [pic 33]

[pic 34]  para [pic 35]  [pic 36]

Verificando:

        1- provar: [pic 37]  [pic 38] (comutatividade)

 Sejam [pic 39], com [pic 40] [pic 41] 

[pic 42]

vale a comutatividade ou seja, x+y=y+x

2- provar: [pic 43],  [pic 44]

 Sejam [pic 45], com [pic 46] [pic 47]  [pic 48]

[pic 49]

[pic 50]

daí, [pic 51]

        3- provar existe [pic 52] tal que [pic 53], [pic 54]

Sejam [pic 55]  e  [pic 56]  tal que [pic 57] onde [pic 58]  e  [pic 59]

[pic 60]

        4- provar: [pic 61] existe [pic 62] tal que [pic 63]

Sejam [pic 64]tal que [pic 65]

Então: [pic 66] Daí, [pic 67]  ou ainda  [pic 68]

Logo, [pic 69]  e vale a comutatividade

Assim, [pic 70],existe [pic 71] tal que [pic 72]  ou seja [pic 73] existe [pic 74] tal que [pic 75]

        5- provar: [pic 76], [pic 77]  [pic 78]

Sejam [pic 79]  e  [pic 80]

[pic 81]

        6- provar: [pic 82], [pic 83]  [pic 84]

Sejam [pic 85]  e  [pic 86]

[pic 87]

        7- provar: [pic 88], [pic 89] [pic 90]

Sejam [pic 91], com [pic 92] [pic 93] e [pic 94]

[pic 95]

8- provar: [pic 96] [pic 97],  [pic 98]