O que é álgebra linear

1. O QUE É ÁLGEBRA LINEAR?

VETORES, OPERAÇÕES E ESPAÇOS VETOR

Um vetor é uma lista ordenada de números. Podemos usar uma interpretação geométrica para enxergar

melhor o que é um vetor; essa interpretação é basicamente pensar no vetor como uma "seta" que dá uma

direção, sentido e tem um certo tamanho.

Por exemplo, o vetor (3,2) que pertence ao R².Sua interpretação geométrica é marcar no plano cartesiano

o ponto x=3 , y=2 e ligar a origem (0,0) até esse ponto.

OPERAÇÕES

Soma de vetores - Fazer a soma de vetores é basicamente somar as coordenadas.

Subtração de vetores - A subtração de vetores é igual à soma, a única diferença é que você vai subtrair

cada coordenada invés de somá-las.

Multiplicação por escalar - Essa operação consiste em pegar UM número real e multiplicar um vetor , esse

número (escalar) multiplica cada coordenada do vetor.

COMBINAÇÃO LINEAR E INDEPENDECIA LINEAR

Combinação linear é tentar escrever um vetor como combinação de outros. Para fazer uma combinação

linear usamos as operações que acabamos de apresentar de forma conjunta para tentar chegar ao vetor

original.

Exemplo: Existem escalares , tal que *(1,2)+*(1,1) = (2,3)? Podemos ler isso como “O vetor (2,3) é

combinação linear de (1,2) e (1,1)?”

*(1,2)+*(1,1) = (2,3) => (*1+ *1 , *2 + *1 ) = (2,3)

 = 1  = 1

logo, (2,3) é combinação linear de (1,2) e (1,1).

Quando um vetor é combinação linear de outros dizemos que eles são Linearmente Dependentes (LD).

No exemplo acima, (2,3) é LD com (1,2) e (1,1); caso não existissem e  que resolvessem aquele sistema,

diríamos que eles são Linearmente Independentes (LI).

Para sabermos se n vetores {v1,v2, ..., vn} são LI's ou LD's fazemos como a seguir. Sea1,a2,..., an são escalares,

olhamos para o sistema

a1*v1 + a2*v2 + a3*v3 + ... + an*vn = 0 (vetor nulo)

RESUMO

ÁLGEBRA LINEAR

POR:

Giovanni

Tramontin

e

te salvando de novo.

Agora com o:

É claro que a1=a2=a3=...=an=0é solução. Se essa for a única solução, então os vetores {v1,v2...vn} são LI.

Caso contrário, eles são LD.

PARAMETRIZAÇÃO

É possível descrever espaços em função de vetores, a isso se dá o nome de parametrização. A primeira

coisa com que é preciso se preocupar é qual a dimensão do espaço que queremos descrever. Por exemplo,

uma reta tem dimensão um, um plano tem dimensão dois, um ponto tem dimensão zero.

Isso é importante porque o número de dimensões do seu espaço é o número de vetores LI's necessários

para descrevê-lo. Cada vetor LI dá uma direção, dimensão nova: esses vetores são chamados vetores

diretores.

Sabendo a dimensão agora é preciso saber por onde o espaço passa, por quais pontos.

Conhecendo 1 ponto do espaço e vetores LI's desse espaço você consegue deni-lo fazendo:

P->Ponto

{v1...vn} -> vetores LI's

{t1...tn} -> parâmetros reais

S = P + t1*v1 +t2*v2 +...+ tn*vn{t1...tn} variam

Por que isso?

Olhando somente para ( t1*v1 +t2*v2 +...+ tn*vn) percebemos que isso é uma combinação linear, ou seja,

como os parâmetros são variáveis livres, estamos denindo TODOS os vetores gerados por {v1...vn}; isso

cará mais claro no exemplo. Ao somarmos um ponto, estamos xando a posição desses vetores (pois

Por que isso? Se no sistema abaixo a1 0, então

a1*v1 + a2*v2 +a3*v3 = 0 -> -a1*v1 = a2*v2 +a3*v3 ->v1= -(a2*v2+a3*v3)/a1

ou seja, v1 é combinação de v2 e v3, sendo então LD. Logo, para que v1, v2 e v3 sejam

LI's, deve ser a1=0. O mesmo pode ser feito para provar que a2 e a3 devem ser 0.

Exemplo: Vamos parametrizar um plano  que passa no ponto (0,0,0) e contém os

vetores (1,1,1) e (1,0,1). Perceba que eles são LI's usando a formula já mencionada.

Então a parametrização seria: = (0,0,0) + t(1,1,1) + s(1,0,1), ou simplicando: =(t+s,t,t+s). t e s são

variáveis livres. O número de variáveis livres dá a dimensão do espaço, no caso dois, logo dois vetores LI's,

um plano.

EQUAÇÕES CARTESIANAS

Outra forma de denir espaço é através de sistemas de equações cartesianas: a solução do sistema é o

espaço gerado. Nas equações cartesianas não aparecem os parâmetros, mas sim as coordenadas cartesianas.

O mais importante nesse tópico é saber reconhecer a dimensão do espaço gerado olhando para as

equações cartesianas.

É preciso ter em mente