OS VALORES MÁXIMOS E MÍNIMOS

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS

CAMPUS A.C. SIMÕES

VALORES MÁXIMO E MÍNIMO

Alunos: Anthony Teixeira

Allef Noronha

Gabriel Holanda

José Augusto

Lucas Ribas

Maceió, Alagoas, 30 de novembro de 2014

• VALORES MÁXIMOS E MÍNIMOS

        Podemos perceber que a ideia aprendida no cálculo 1 sobre a definição de valores máximos e mínimos continuam também para no cálculo 3. Citaremos a definição para valores máximo e mínimos globais, abordada no James Stweart volume 1, no 4° capitulo: “Uma função de f tem máximo absoluto em c se f(a) >= f(x) para todo x em D, onde D é o domínio de f. O número f(a) é chamado valor máximo de f em D [...]”, e de forma contrária teremos o valor mínimo. E se trabalharmos com as proximidades de um ponto poderemos observar os valores de máximo e mínimo locais: “Uma função f tem um máximo em a se f(a) >= f(x) quando x estiver nas proximidades de a. Analogamente, f tem um mínimo local em a se f(a) <= f(x) quando x estiver próximo de a.”

        Então como agora estamos lidando com equações de duas variáveis, a forma de encontrarmos tais valores modificará um pouco. Primeiramente teremos que encontrar o ponto ao qual as derivadas parciais de primeira ordem zeram ∂fx(x,y) = 0 e ∂fy(x,y) = 0 ou os que a tornem inexistente. Porém precisamos determinar o que cada ponto representa se é de máximo ou se é de mínimo, de forma análoga ao da testa da segunda derivada de funções com apenas uma variável, temos tal teste:

D = D (a, b) = ∂fxx (a, b) * ∂fyy (a, b) – [∂xy (a, b)]2

        Onde, se D for negativo a função é do tipo “sela” ao qual a mesma não apresenta nem máximo e nem mínimo local, se o D for positivo podemos ter duas conclusões: 1) Se a ∂xx (a, b) > 0 então f (a, b) é mínimo local, 2) Se ∂xx (a, b) for negativo em f (a, b) teremos um valor de máximo local.

        

        Quando trabalhamos com intervalos fechados isso já me garante que a função terá obrigatoriamente valores máximos e mínimos absolutos, por isso ao resolvermos qualquer questão de tal situação temos que verificar também os limites do intervalo dado. No caso é a junção da definição para encontrar os pontos críticos mais a verificação dos valores nos extremos do intervalo da função, fazendo uma simples comparação teremos o valor desejado. Observemos que algumas questões de maximizarmos, teremos sempre que ficar com uma função para trabalharmos com duas variáveis, todas as regras aprendidas se aplicam apenas nesse caso.