Os Sistemas Lineares

Exercícios – Numérico – Meu Guru

1) A solução é realizada utilizando o Matlab/octave.

Vamos aplicar o método de Newton  com vetor inicial  X = [x0 y0]’= [1 1]’ , em que por simplicidade de notação estamos fazendo x = x1 e y = x2. Com isso, a saída da função gera os resultados abaixo:

i	xi	yi	dx	dy
0	1	1	1	1
1	1.0282	1.4718	0.028197	0.4718
2	1.0028	1.4136	-0.025357	-0.058177
3	1.0021	1.4127	-0.00075347	-0.00089001

Portanto, a solução é x1 = 1.0021  e x2 = 1.4127.

O código utilizado segue abaixo:

% Sistema de equações não lineares: metodo de Newton

%----------------------------------------------------------------------

%--- Dados de entrada

% Vamos chamar de x = x1 e y = x2

x0 = 1;   % x1 inicial

y0 = 1;     % x2 inicial

dx = 1;     %

dy = 1;

i = 0;

erro = 1e-4;

%----------------------------------------------------------------------

while abs(dx) > erro & abs(dy) > erro

 disp(['i: ' num2str(i) ' x: ' num2str(x0) ' y: ' num2str(y0) ...

 ' dx: ' num2str(dx) ' dy: ' num2str(dy)]);

 %----------------------------------------------------------------------

J = [cos(x0) -sin(y0); 2*x0 2*y0];    % Matriz/vetor jacobiana com

F = [sin(x0) + cos(y0) - 1; x0.^2 + y0.^2 - 3];  %% Matriz/vetor com a função F

%------------------------------------------------------------------------

delta = J\(-F);

 dx = delta(1); dy = delta(2);

 xn = x0 + dx;

 yn = y0 + dy;

 x0 = xn; y0 = yn; i = i + 1;

end

 

2) Vamos usar o método de Newton para resolver o sistema .

Logos temos a solução e código utilizado logo abaixo.

Inicialmente foi necessário converter lf = 0.80 mm para metros

i	xi	yi	dx	dy
0	250	70	1	1
1	2511.978	-119.7804	2261.978	-189.7804
2	2508.1779	-81.7794	-3.8001	38.0011
3	2504.6948	-46.9482	-3.4831	34.8312
4	2501.9295	-19.2954	-2.7653	27.6528
5	2500.3945	-3.9447	-1.5351	15.3507
6	2500.0125	-0.12501	-0.38196	3.8196
7	2499.9931	0.0694	-0.019441	0.19441

Portanto, a solução é  He = 2499.9931  e Hf = 0.0694

O código utilizado segue abaixo:

%%% Condição inicial x0 = He = 1250 kA/m e y0 = Hf = 70 A/m

x0 = 250;   % x1 inicial

y0 = 70;     % x2 inicial

dx = 1;     %

dy = 1;

i = 0;

erro = 1e-4;  % Erro assumido

le = 0.40; % em metros

lf = 0.08; % convertemos 0.80 mm para metros

N = 200;

I = 10;

u0 = 4*pi*10.^(-7);

%----------------------------------------------------------------------

while abs(dx) > erro & abs(dy) > erro

 disp(['i: ' num2str(i) ' x: ' num2str(x0) ' y: ' num2str(y0) ...

 ' dx: ' num2str(dx) ' dy: ' num2str(dy)]);

 %----------------------------------------------------------------------

J = [2*le lf; -u0 (1.8/40)*exp(-y0/40)];    % Matriz/vetor jacobiana com

F = [2*x0*le + y0*lf - N*I; -u0*x0 + 1.8*(1 - exp(-y0/40))];  %% Matriz/vetor com a função F

%------------------------------------------------------------------------

delta = J\(-F);

 dx = delta(1); dy = delta(2);

 xn = x0 + dx;

 yn = y0 + dy;

 x0 = xn; y0 = yn; i = i + 1;

end

3) Vamos usar o método de Newton para resolver o sistema .

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