Regra de Cadeia, Derivadas de funções, Exponenciais e Logarítmicas

Introdução

Neste trabalho abordaremos vários tópicos sobre a disciplina de Calculo II, dentre os quais, destacaremos abaixo resumidamente os conceitos e definições dos seguintes temas: Regra de Cadeia, Derivadas de funções, Exponenciais e Logarítmicas, Derivadas Trigonométricas e Aplicadas de Derivadas.

Regra de Cadeia que pode ser definida com uma fórmula para a derivada da função composta de duas funções. Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia teve grande importância para o avanço do cálculo diferencial. Seu desenvolvimento foi devido à mudança de notação, ou seja, ao invés de usar a notação de Newton, Leibniz adotou uma notação referente à tangente, onde a derivada é dada pela diferença dos valores na ordenada dividida pela diferença dos valores na abcissa e onde essa diferença é infinitamente pequena (dy/dx).
Já as Derivadas de Funções, de forma sucinta podem ser representadas pela taxa de variação instantânea de uma função. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo a função aceleração é a derivada da função velocidade.
A Função Exponencial é uma das mais importantes funções da matemática. Descrita como ex (onde e é a constante matemática neperiana, base do logaritmo neperiano), pode ser definida de duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma série infinita; a segunda, como limite de uma sequência.
Em síntese, podemos dizer que a Função Logarítmica é uma de três funções intimamente relacionadas. Com bn = x, b pode ser determinado utilizando radicais, n com logaritmos, e x com exponenciais.
As Funções trigonométricas, podemos relatar que são funções angulares, importantes no estudo dos triângulos e na modelação de fenómenos periódicos. Podem ser definidas como razões entre dois lados de um triângulo retângulo em função de um ângulo, ou, de forma mais geral, como razões de coordenadas de pontos no círculo unitário. 
Aplicações da Derivada de uma função são utilizadas para diversas finalidades. A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu, ela também é uma função que fornece valores relativos de muita utilidade, podemos também lembrar que o ângulo da reta tangente ao ponto da curva inicial pode ser encontrado através da derivada, pois a derivada fornece o valor da tangente deste ângulo. 

Enfim, temos muito para extrair das derivadas, elas nos fornecem vários artifícios para manipular os números em uma função, possibilitando diversas maneiras de extrair informações, elas trazem um novo meio, capaz de nos trazer novas formas de analisar dados numéricos, e etc. 

Etapa 3º e 4º parte da ATPS de calculo 2

ETAPA 3

PASSO 1

Nome e RA dos Integrantes do Grupo.·.

Antoniel José Silva              RA 8075862850

Antonio Marcos Cardoso     RA 8090880327

Douglas Moura                     RA 8411148058

Daniel Diniz                         RA

Fabiano Barros Oliveira       RA 8486979942

Lucimalra Santos Cardoso   RA 8636269063


Conforme desafio proposto na ATPS:
Criamos a empresa Sakamoto Consultoria LTDA, localizada sob o endereço: AV. Henry Ford n°136 Mooca-SP.

Resposta:
Achando o diâmetro D = 1*cm, onde é uma dezena do intervalo (10, 19)

Resposta:
Achando o diâmetro.
O Maior Algarismo do RA é 9.
Então o diâmetro será = 19
Achando o Raio.
D = 2*R
19 = 2R
R = D/2
R = 19/2 = 9,5cm

Achando a altura e o volume da lata usando derivada.
R²=h²*r²
9,5²=h²*r²
r²=90,25-h²

H=2h
V=πr²*H
V=π(90,25-h²) *2h
V’=2π(890,25h-h³)
V’=90,25-3h²
h’ =5,4848
h=5,4848
H=2h
H=2*5,4848
H=10,97 cm

r²=90,25-5,4848²
r=√90,25-5,4848²
r=7,757cm
V=πr²*H
V=π*7,757²*10,97=2,08cm³.

PASSO 2

Fazer um layout com escala, representando a lata de óleo do passo 1 e criar um protótipo em tamanho real. Fazer um relatório justificando de forma positiva a utilização desta nova embalagem, que deverá ser apresentada à diretoria da empresa “SoyOil”.
Resposta:

[pic 1]

        

Relatório

Criada por nossos idealizadores, para ajudar o consumidor a fazer a escolha pelo óleo “Soy Oil”. A embalagem desenvolvida foi construída pra ser ecologicamente correta, obtidas de maneira sustentável ou por biotecnologia não transgênica, bem como reaproveitamento e a reciclagem de matérias primas sintéticas por processos tecnológicos limpos e apropriados com o uso de matéria prima natural renovável, reaproveitada utilizando baixo consumo de energia para sua fabricação com a possibilidade máxima de recuperação da embalagem e utilização ate a ultima gota do produto.

PASSO 3
Resposta:
V = ΔS/ ΔT
3cm3/s = 50 cm ÷ x
3 cm/s x = 50 cm
x= 50 cm ÷3 cm/s 16,6s

v = 50 cm – 20 cm ÷17s - 6,64 s
v= 30 cm/ 10,36s
v = 2,89 cm³/s··.