SOLUÇÃO NUMÉRICA DE SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

ETAPA 3: SOLUÇÃO NUMÉRICA DE SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

Os sistemas lineares são utilizados para a resolução de vários problemas como : determinação do potencial em redes elétricas , cálculo da tensão na estrutura metálica da construção civil , cálculo da razão de escoamento num sistema hidráulico com derivações , previsão da concentração de reagentes sujeitos a reações químicas simultâneas. O problema matemático reduz-se ao problema de resolver um sistema de equações simultâneas , que também são encontradas nos métodos numéricos.

Uma equação é linear quando cada termo contem não mais do que uma variável e cada aparece na primeira potencia.

CLASSIFICAÇÃODE UM SISTEMA LINEAR

A classificação é feita em função do número de soluções que ele admite :

a) Sistema possível ou consistente : é todo sistema que possui pelo menos uma solução. Um sistema linear possível é :

a.1) determinado – admite uma única solução:

a.2) indeterminado – admite mais de uma solução.

b) Sistema impossível ou inconsciente : é todo sistema que não admite solução.

Exemplo de equações lineares :

2x+ y+ z = 16

3x+3y- 2z= 13

5x-4y+ z = 21

2 1 1 = 16 L1 : 2

3 3 -2 = 13

5 -4 1 = 21 

1 ½ ½ = 8

3 3 -2= 13 L2 – 3 * L1

5 -4 1 = 21

1 ½ ½ = 8

0 3/2 -7/2 = -11

5 -4 1 = 21 L3- 5 * L1

1 ½ 1/2 = 8

0 3/2 -7/2 = -11 L2 : 3/2

0 -13/2 -3/2 = -19

1 ½ ½ = 8 L1- 1/2 *L2

0 1 -73 = -22/3

0 -13/2 -3/2 = -19 L3 + 13/2 * L2

1 0 5/3 = 35/3

0 1 -7/3 = -22/3

0 0 -50/3 = -200/3 L3: (-50/3 )

1 0 5/3 = 53/3 L1 - 5/3 * L3

0 1 -7/3 = -22/3 L2 + 7/3 * L3

0 1 1 = 4

1 0 0 = 5

0 1 0 = 2

0 0 1 = 4

Os valores são: S= { 5 , 2, 4}

x = 5; y = 2; z = 4;

Passo 2

Ler o desafio proposto:

Considerar um circuito elétrico representado por:

Onde, i1 ,i2, i3, são as correntes e z1, z2, z3,as impedâncias pelas quais as correntes passam.

A respeito do sistema linear gerado pelo circuito elétrico, podemos afirmar:

I – o determinante da matriz incompleta A do sistema é 118.

= 64 - 0 + 30 + 24 + 0 + 0 = 118

Det= 118

R:Verdadeiro, Assim confirmamos a veracidade da afirmação I, onde o determinante da matriz incompleta A é igual a 118. 

II – a matriz inversa de A, denotada por .

O cálculo da Matriz Inversa utilizando a eliminação de Gauss-Jordan

1 1 1 1 0 0

10 -8 0 0 1 0

8 0 -3 0 0 1

L2−(10)×L1→L2

1 1 1 1 0 0

0 -18 -10 -10 1 0

8 0 -3 0 0 1

L3−(8)×L1→L3

1 1 1 1 0 0

0 -18 -10 -10 1 0

0 -8 -11 -8 0 1

L2/(−18)→L2

1 1 1 1 0 0

0 1 5/9 5/9 -1/18 0

0 -18 -11 -8 0 1

L3−(−8)×L2→L3

1 1 1 1 0 0

0 1 5/9 5/9 -1/18 0

0 0 -59/9 -32/9 -4/9 1

L3/(−59/9)→L3

1 1 1 1 0 0

0 1 0 15/59 -11/118 5/59

0 0 1 32/59 4/59 -9/59

L1−(1)×L3→L1

1 1 1 27/59 - 4/59 9/59

0 1 0 15/59 -11/118 5/59

0 0 1 32/59 4/59 -9/59

L1−(1)×L2→L1

1 1 0 12/59 3/118 4/59

0 1 0 15/59 -11/118 5/59

0 0 1 32/59 4/59 -9/59

R : Esta afirmação está incorreta visto que a matriz inversa é diferente da matriz apresentada; 

III – o sistema é possível e determinado (sistema compatível) e a solução é dada por: i1=9,79; i2=4,11; i3=—13,9;

1 1 1 0