Sistemas de Equações Lineares

       

UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA[pic 1]

LAÍS DA SILVA SENA ROBERTO

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E ANÁLISE COMBINATÓRIA

Regra De Cramer

RIO DE JANEIRO

2024

LAÍS DA SILVA SENA ROBERTO[pic 2]

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E ANÁLISE COMBINATÓRIA

Regra De Cramer

Monografia apresentada ao curso de matemática como requisito para obtenção de nota, dentro do espaço curso sistemas de equações lineares e análise combinatória.

Orientador(a): Alessandro de S. B.

RIO DE JANEIRO

2024

SUMÁRIO[pic 3]

RESUMO4

ABSTRACT5

Introdução 6

1.1 Introdução à Regra de Cramer8

1.2 A Relevância da Regra de Cramer na Álgebra Linear10

1.3 Exemplo Prático da Resolução de um Sistema 2x2 Através da Regra de Cramer7

2.1 A Importância dos Determinantes7

RESUMO

A presente dissertação tem como objetivo a exposição da importância da Regra de Cramer, criada por: Gabriel Cramer, matemático suíço que se formou apenas com 18 anos de idade. Nascido em Genebra, Suíça, em 31 de Julho de 1704, vindo a falecer em Bagnols, França, 4 de Janeiro de 1752.

Tem também como um de seus objetivos evidenciar a relevância da Regra Cramer vista a luz da óptica da álgebra linear (matéria que utiliza alguns conceitos e estruturas fundamentais da matemática como vetores, espaços vetoriais, transformações lineares, sistemas de equações lineares e matrizes com a finalidade de facilitar a compreensão do dia a dia através da base matemática, como por exemplo: em sistemas lineares, na ciência da computação, na teoria dos grafos e em outras aplicações).

Não só, mas também, o estudo tem como objetivo demonstrar através dos cálculos e pesquisas, o destaque possuinte dos determinantes, de modo que fique claro o porquê de sua utilização no meio matemático.

ABSTRACT

The objective of this dissertation is to expose the importance of Cramer's Rule, created by: Gabriel Cramer, a Swiss mathematician who graduated at just 18 years of age. Born in Geneva, Switzerland, on July 31, 1704, he died in Bagnols, France, on January 4, 1752.

It also has as one of its objectives to highlight the relevance of the Cramer Rule seen in light of the optics of linear algebra (a subject that uses some fundamental concepts and structures of mathematics such as vectors, vector spaces, linear transformations, systems of linear equations and matrices with the purpose to facilitate day-to-day understanding through a mathematical basis, such as: linear systems, computer science, graph theory and other applications).

Not only, but also, the study aims to demonstrate, through calculations and research, the prominence of determinants, so that it becomes clear why they are used in mathematics.

Introdução

Para que se possa elucidar os assuntos pontuados neste tema e necessário voltar no tema assunto que dá base a dissertação, Gabriel Cramer; como já mencionado foi um matemático suíço, nascido em Genebra, Suíça, em 31 de Julho de 1704. Filho de Jean Isaac Cramer e de Anne Mallet juntamente com mais dois irmãos, Gabriel ganhou notoriedade pelo seu rápido desempenho académico, pois em 1722, com apenas 18 anos, obteve, pela Universidade de Genebra o título de doutor pelo seu trabalho desenvolvido em acústica. Em 1724 tornou-se professor de matemática e de filosofia também pela Universidade de Genebra.

Na “Académie de Clavin”, em Genebra, Cramer trabalhou diretamente com Calandrini, com quem partilhou o ensino do curso de matemática. Cramer leccionou geometria e mecânica, enquanto Calandrini ensinou na área de álgebra e da astronomia. Cramer procurou inovar e não se limitar ao ensino tradicional, prova disso foi a proposta aceite de lecionar os seus cursos em francês em vez de latim, que era a língua tradicional para a época.

Dito isso é importante pontuar a matemática diante do século XVIII, que por ser mais próxima do século XIX, pode-se dizer que é a matemática como vê-se e estuda-se atualmente. Retrocedendo um pouco, os séculos XVI XVII e XVIII foram um período fundamental na história da matemática neles se processou a transição entre a antiguidade e a modernidade.

Mais precisamente, em  finais do século XVIII, os conteúdos e formalismos são já praticamente do nosso tempo, podendo mesmo dizer-se que parte apreciável dos tópicos cobertos em certas disciplinas básicas das licenciaturas em Matemática de hoje são conhecidos, de uma forma ou de outra, há pelo menos 200 anos. O que evidencia mais ainda a teoria utilizada por Cramer para a resolução de sistemas lineares através dos determinantes uma vez a matemática base já não era mais um denominador incomum, mas sim a base comum para resolução de problemas antes sem resposta.

Introdução à Regra de Cramer

“A regra de Cramer é um método de resolver equações lineares simultâneas pelo uso de determinantes. Uma equação linear é uma equação que pode ser representada por uma linha reta. Se duas retas se cruzam, o ponto de interseção delas é comum. A regra de Cramer usa determinantes para achar as coordenadas do ponto de interseção. Cada denominador consiste nos coeficientes de x e y. O numerador para x é determinado substituindo os coeficientes de x pelas constantes no lado direito das equações. O numerador para y é semelhantemente determinado. Numeradores e denominadores são alcançados por multiplicação cruzada e subtração,” de modo mais simples, e objetivo, tendo como base o contexto fracionário a variável  encontra-se da se seguinte maneira “ ,” de maneira  seja descoberto pondo em evidência as colunas dos valores que acompanham  e pela coluna dos valores após a igualdade e ainda que ,” seja evidenciado de forma semelhante, apenas trocando a coluna próprio . Por sua vez, o determinante, ” é encontrado a partir do posicionamento das colunas 1 e 2 (colunas que acompanham os valores de ).[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]