Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares

 Relatório 4 - Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares – parte 2

Sabemos que a solução de sistemas lineares é um problema que surge em varias áreas, a resolução de um sistema linear nada mais é do que calcular os valores de Xj , caso eles existam.

No caso geral em que o sistema linear envolver m equações e n variáveis só se pode considerar que ocorra uma das seguintes situações: O sistema linear tem solução única, o sistema linear admite infinitas soluções ou o sistema linear não admite solução.

Existem alguns métodos numéricos para a solução de sistemas lineares do tipo n x n, sendo entendida da seguinte forma: n equações e n incógnitas. Esses métodos podem ser divididos em dois grupos: métodos diretos e métodos iterativos.

Nos métodos diretos há menos chance de ocorrer erros de arredondamento, fornecem a solução exata do sistema linear, caso ela exista, isso depois de uma numero finito de operações, já os métodos iterativos geram uma sequência de vetores { x (k) }, a partir de uma aproximação inicial x (0). E estando sob sertãs condições esta sequência converge para a solução x * , caso ela exista.

Entre os métodos diretos existe um destaque para os métodos de eliminação que evitam o calculo direto da matriz inversa de A e ainda não apresentam certos problemas com o tempo de execução. Um exemplo é o método de eliminação de Gauss, que consiste em transformar o sistema linear original num sistema linear equivalente com matriz dos coeficientes triangular superior, dizemos que dois sistemas lineares são equivalentes quando possuem a mesma solução.

O que se espera com o método iterativo é generalizar o método do ponto fixo utilizado na busca de raízes de uma equação, além do que os métodos iterativos são mais econômicos no que tange a memória do computador. Podemos aqui citar dois exemplos de métodos iterativos : método de Gauss-Jacobi e Gauss- Seidel.