Uma Solução para a equação diferencial

Uma solução para a equação diferencial y'=1+e5x é dada por: y'=1+e^(5x) 

dy/dx=1+e^(5x) 

∫dy = ∫ 1+e^(5x) dx 

y = x + (1/5) * e^(5x) + c

Resolvendo o problema de valor inicial  xy' = 4y ,  y(1)=3, obtemos:

(1/y) dy =(4/x) dx 
∫ (1/y) dy =∫ (4/x) dx 
ln |y| = 4*ln| x| + c 
ln |y| = ln| x|^4 + c 
ln |y| = ln| x^4 + c 
y(1)=3 
ln |3| =ln 1 +c 
c= ln 3 
ln |y| = ln x^4 +ln 3 
ln |y| = ln 3x^4 
|y| = 3x^4 ==>y=3x^4 para y>0

Uma solução para a equação diferencial exata (e3y+ycos(xy)+2x)dx+(3xe3y+xcos(xy))dy=0 é:

( e³ʸ + y.cos ( xy ) + 2x ) dx + ( 3xe³ʸ + xcos ( xy ) ) dy = 0 
Solução 
M( x , y ) = e³ʸ + y.cos ( xy ) + 2x 
∂M 
▬ = 3e³ʸ + cos ( xy ) - yx.sen ( xy ) 
∂y 
e 
N( x , y ) = 3xe³ʸ + xcos ( xy ) 
∂N 
▬ = 3e³ʸ + cos ( xy ) - yx.sen ( xy ) 
∂x 
Note ∂M/∂y = ∂N/∂x , o que comprova que a equação diferencial é exata!! 
Daí; ∃g( x , y ) = c 
∫∂g/∂x = ∫M( x , y ) dx 
g( x , y ) = ∫[ e³ʸ + y.cos ( xy ) + 2x ] dx 
g( x , y ) = x.e³ʸ + sen ( xy ) + x² + K( y ) 
Então; 
∂g 
▬ = 3x.e³ʸ + x.cos ( xy ) + K'( y ) 
∂y 
Temos que; 
∂g 
▬ = N( x , y ) 
∂y 
3x.e³ʸ + x.cos ( xy ) + K'( y ) = 3xe³ʸ + x.cos ( xy ) 

Uma solução geral para a equação diferencial y'-7y=0 é:

 y' - 7y = 0 
dy / dx - 7y = 0 
dy / dx = 7y 
dy / y = 7 dx 
∫ 1 / y dy = 7 ∫ 1 dx 
ln|y| = 7x + C 
y = ℮^(7x + C) 
y = ℮ᶜ℮^(7x) 
y = C℮^(7x)

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