Sistemas de Equações Lineares

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2º ano Ensino Médio

Matemática: Carga horária mensal ___ horas

Outubro de 2020

Códigos das Habilidades	Objetos de conhecimentos
EM13MAT301 Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.	Sistemas de equações lineares. Gráficos de funções lineares com uma ou duas variáveis.

Nome da Escola: Antonio Guimarães Balbino

Nome do Professor: Saulo Oliveira da Silva

Nome do Estudante:___________________________________________________

Período: Matutino        

Turma: 2° Ano Ensino Médio _____

Sistemas Lineares

Equações Lineares

Toda equação escrita forma geral : a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = c, chamamos de equação linear. As  equações lineares  possuem coeficientes reais, o termo independente também é um número real e os expoentes são unitários.

Na equação temos os termos:

a1,  a2,  a3, . . . an: são os coeficientes da equação

x1,  x2,  x3: são as incógnitas ou variáveis

c: termo independente ( valor numérico da equação linear)

Exemplos

1. 2x + y + z = 4     x = 2,     y = 1,      z = 1

Coeficientes: 2, 1, 1

Incógnitas ou variáveis:  x, y, z

Termo independente: 4

Expoente: unitário (significa que é igual a 1)

1. 4x + 5y + z = 4

Coeficientes: 4, 5, 1

Incógnitas ou variável: x, y, z

Termo independente: 4

Expoente: unitário

1. 6x - y = 3
   coeficientes: 6, -1

Incógnitas ou variáveis: x, y
Termo independente: 3
Expoente: unitário

1. 5x + 2y + 5z = 25
   Coeficientes: 5, 2, 5

Incógnitas ou variáveis: x, y, z
Termo independente: 25
Expoente: unitário

1. 5m + 4n + 8s + 9p = 32
   Coeficientes: 5, 4, 8, 9

Incógnitas ou variáveis: m, n, s, p
Termo independente: 32
Expoente: unitário

Observação: o expoente unitário que se refere ao expoente das incógnitas, sendo igual a 1. Sendo assim quando seu expoente for igual a 1 não há necessidade de escreve-lo.

Equação homogênea: Quando o termo independente é nulo, ou seja, quando c = 0, a equação linear é homogênea.

Exemplo

1. 4x + 5y + z = 0

Exemplos:

a) Dado o conjunto solução (0, 1, 2) e a equação linear -2x + y + 5z = 11, para verificar se é verdadeira essa solução deve-se substituir os valores 0, 1 e 10 nas suas respectivas incógnitas.
-2x + y + 5z = 11
-2 . ( 0 ) + ( 1 )+ 5 .( 2 ) = 11
0 + 1 + 10 = 11
11 = 11

Como a igualdade é verdadeira, podemos concluir que o conjunto solução (0, 1, 10) é solução da equação -2x + y + 5z = 11

b) A equação 4x – 3y + 5z = 31 é uma equação linear. Os coeficientes são 4, –3 e 5; x, y e z as incógnitas e 31 o termo independente. Para x = 2, y = 4 e z = 7, verifique se os valores dado é a solução da equação linear.

Devemos substituir x por 2, y por 4 e z por 7.
4x – 3y + 5z = 31.

4 . (2) – 3. (4) + 5 . (7) = 31

8 -12 + 35 = 31

- 4 + 35 = 31

31 = 31

Concluímos que o terno ordenado (2,4,7) é a solução da equação linear.

c) O par ordenado (2, - 4) é a solução da equação 4x -5y = 23.

Devemos substituir x por 2 e y por -4.

4x -5y = 23

4 . (2) – 5 . (-4) = 23

8 + 20 = 23

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Concluímos que os valores não são iguais, podemos dizer que os pares ordenados (2, -4) não é a solução da equação.
d) Calcule para que valor de m a quadrada ordenada (1,2,-3,5) é solução da equação
3x + 5y – mz + t = 0
Devemos substituir os valores do conjunto solução nas incógnitas da equação:
3 . (1) + 5 .(2) – m . (-3) +(5) = 0
3 + 10 + 3m + 5 = 0
13 + 3m + 5 = 0
3m + 18 = 0
3m = -18
m = -18 : 3
m = -6
Portanto, para que o conjunto solução (1,2,-3,5) seja solução da equação, m deverá assumir valor igual a -6.

e) Dada a equação linear 2x + 5z = 10, apresente três soluções diferentes.

Para apresentarmos soluções diferentes, devemos encontrar valores para x e z e substituir esses valores e o resultado deve ser igual a 10.

1ª solução: x = 5 e z = 0

2 . (5) + 5 . (0) = 10

10 + 0 = 10

10 = 10

2ª solução: x = 10 e z = -2

2 . (10) + 5 . (-2) = 10

20 – 10 = 10

10 = 10

3º solução: x = -5 e z = 4

2 . (-5) + 5 . (4) = 10

-10 + 20 = 10

10 = 10

Assim, os pares ordenados (5, 0), (10, -2), (-5, 4) são soluções da equação.

Observem os exemplos anteriores que ao representarmos a solução de uma equação linear, obedecemos à ordem de suas incógnitas.