Os Sistemas Lineares
Por: Hamilton Brito • 19/3/2021 • Resenha • 2.336 Palavras (10 Páginas) • 248 Visualizações
[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]
[pic 5]
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SISTEMAS LINEARES
- Equação linear
Chamamos de equação linear, nas incógnitas toda equação do tipo[pic 7]
[pic 8]
Os números , todos reais, são chamados coeficientes e b, também real, é o termo independente da equação.[pic 9]
Exemplos:
- [pic 10]
- [pic 11]
Os exemplos a seguir não são equações lineares.
a) [pic 12]
b) [pic 13]
1.1. Solução de uma Equação Linear
A solução de uma equação linear é a sequência (conhecida como ênupla) .[pic 14][pic 15]
Exemplo: a ênupla {1,2,3,-2} é solução da equação linear [pic 16]
- DEFINIÇÃO DE SISTEMAS LINEARES
Um sistema de equações lineares ou simplesmente sistema linear é um conjunto de m () equações lineares, ou seja, é um conjunto de equações lineares do tipo:[pic 17]
[pic 19][pic 18]
são as incógnitas do sistema linear acima.[pic 20]
Com base nas aulas anteriores de matrizes, o sistema linear acima pode ser reescrito como:
[pic 21]
[pic 22]
Exemplo Resolvido
O sistema pode ser representado matricialmente por:[pic 23]
[pic 24]
- SOLUÇÃO DE SISTEMA LINEAR
Uma ênupla é solução de um sistema linear se ela é solução de todas as ênuplas. [pic 25]
Exemplo resolvido
A ênupla {2,3} é solução do sistema linear pois [pic 26][pic 27]
Há diversos métodos para se resolver sistemas lineares (adição, substituição, igualdade, regra de Cramer etc.). Vamos focar em especial no método da adição aqui. E iremos focar prioritariamente em sistemas 2 por 2 pois o ENEM não costuma cobrar sistemas de ordem maiores. [pic 28]
3.1 MÉTODO DA ADIÇÃO
O método consiste em somar as duas equações do sistema de forma a eliminar uma das variáveis. Porém, essa eliminação só será possível se a variável tiver o mesmo coeficiente com sinais opostos nas duas equações.
Quando a variável a eliminar não tiver sinais opostos, você pode multiplicar por um determinado valor específico em cada sistema para tornar a situação propícia para a eliminação. Se for o caso, pode-se multiplicar não apenas em uma mas em todas as equações. Após achar uma variável, a outra poderá ser encontrada através da substituição da variável encontrada em qualquer equação do sistema.
Vejamos na prática como funciona:[pic 29]
Exemplo resolvido
- [pic 30]
Solução: Vemos no sistema acima que a variável y tem os mesmos coeficientes (1) com sinais contrários nas duas equações (é positiva na primeira e negativa na segunda). Então poderemos somar as duas equações membro a membro para eliminar y.
[pic 31]
[pic 32]
[pic 33]
[pic 34]
De posse de x=2, iremos substituir esse valor em qualquer uma das duas equações. Vamos usar a primeira equação.
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[pic 38]
Portanto, S={2,3}.
[pic 39]
Solução: Nenhuma variável tem mesmo coeficiente com sinais opostos (no caso do y, na primeira equação o coeficiente é 1 e na segunda equação o coeficiente é -3). Diante disso, vamos optar por eliminar x ou y. Vamos escolher o x. Para tornar os coeficientes de x com sinais opostos, o mais óbvio é multiplicar a primeira equação por -2. Lembre-se que: IREMOS MULTIPLICAR TODOS OS TERMOS DA PRIMEIRA EQUAÇÃO.
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Agora sim podemos ver que temos uma variável com mesmo coeficiente com sinais contrários. É só somar as duas equações:[pic 41]
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De posse de y=3, iremos substituir esse valor em qualquer uma das duas equações. Vamos usar a primeira equação.
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Portanto, S={2,3}.
- APLICAÇÕES DE SISTEMAS LINEARES.
Balanceamento de Equações Químicas:
Caixa Eletrônico
Lei de Kirchoff (Lei dos Nós e Lei das Malhas)[pic 49]
5 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
- (UFBA) Uma pessoa retira R$70,00 de um banco, recebendo 10 notas, algumas de R$10,00 e outras de R$5,00. Calcule quantas notas de R$5,00 a pessoa recebeu?
Solução:
Para totalizar 70 reais, por exemplo, a pessoa poderia ter pegado 1 nota de 50 e 1 nota de 20 reais ou 5 notas de 10 reais e 4 notas de 5 reais e por aí vai. Como não sabemos a quantidade notas, então vamos chamar de x as notas de 10 reais e de y as notas de 5 reais. Pelo comando, a pessoa sacou 10 notas, isto é, x+y=10 notas o que resultou em 70 reais, ou seja, 10x+5y=70 reais. Montando nosso sistema:
[pic 50]
Vemos que nenhuma variável tem mesmo coeficiente com sinais contrários. Vamos multiplicar a primeira por -5 para eliminar o y.
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