A ALGEBRA BOOLEANA

Tecnologia dos Computadores – Prof. Anibal Alberto Vilcapoma Ignacio

MODULO -I.

ALGEBRA BOOLEANA

Minimização de Funções

Os circuitos digitais de computadores são projetados e contruidos baseado na algebra Boolena. O matemático ingles George Boole propos os principios básicos em 1854.  Em 1938, Claude Shannon sugeriu que a álgebra booleana poderia ser usada para solucionar para solucionar problemas relativos ao projeto de circuitos de  comutação de relés.  Estas sugerencias foram usadas ná análise e projeto de circuitos eletronícos digitais. Na Análise constitui uma forma economica de descrever a funação de um circuito digital e no projeto a álgebra booleana pode ser usada para desenvolver uma implementação simplificada de uma funação.

A ágebra booleana faz uso de váriáveis e constantes formando um conjunto discreto e finito. Os valores das variáveis e constantes unicamente podem asumir dois valores: sim/não, verdade/falso, 1/0.

Operadores do algebra Booleana

        O três principais operadores da álgebra booleana são os operadores NOT, AND e OR.

        O operador unário NOT é representado como Ā. O resultado desta operação sobre uma variável é a inversão ou negação do valor da variável. Isto é, se a A = 1 então Ā = 0 e vice-versa.  Seu simbolo  é a tabela verdade é mostrado na figura 1. A tabela verdade é a descrição dos possiveis valores de entrada junatamente com cada das saidas possiveis.

A	Ā
0	1
1	0

[pic 1] [pic 2]

Figura 1- Operador NOT:  simbolo e Tabela verdade

        O operador AND é representado pelo símbolo · , como em A · B. O resultado da aplicação deste operador sobre variáveis boolenas é igual a 1 somente se todas as variáveis forem iguais a 1. Caso contrário, o resultado é 0. Esta operação é conhecida como produto lógico. Seu simbolo  é a tabela verdade é mostrado na figura 2.

A	B	A . B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

[pic 3]

Figura 2 – Operador AND: simbolo e Tabela Verdade

O operador OR é representado pelo símbolo + , como em A + B. O resultado da aplicação deste operador sobre variáveis boolenas é igual a 1 se pelo menos uma das variáveis for igual a 1. Caso contrário, o resultado é 0. Esta operação é conhecida como soma lógica.

A	B	A + B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

[pic 4]

Figura 3 – Operador OR: simbolo e Tabela Verdade

Alem destas operações básicas podemos encontrar outros operações que são resultados destas operações básicas. Uma destas operações é a operação XOR, onde unicamente para valores de entradas iguais tem se o resultado como 0. Como pode ser visto na figura 4.

A	B	XOR
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

[pic 5]

Figura 4 – Operador XOR: simbolo e Tabela Verdade

Existem várias leis descritas pela álgebra de Boole que são úteis no tratamento das equações lógicas, como por exemplo:

• Lei da identidade:         

               A + 0 = A      e      A · 1 = A;

• Lei do zero e do um:          

               A + 1 = 1      e      A · 0 = 0;

• Lei da inversão:          

               A + Ā = 1      e      A · Ā = 0;

• Lei da comutatividade:

               A + B = B + A      e      A · B = B · A;

• Lei da associatividade:

               A + (B + C) = (A + B) + C      e      A · (B · C) = (A · B) · C;

• Lei da distributividade:

               A · (B + C) = (A  ·  B) + (A · C)      e      A + (B · C) = (A + B) · (A+ C).

        Além dessas leis existem dois teoremas conhecidos como Teoremas de De Morgan, cuja formulação é dada por:

        [pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]