ATPS de calculo 1 etapa 1 e 2

CÁLCULO DIFERENCIAL

E

INTEGRAL

Prof

Cálculo Diferencial e Integral

AULA 01

1 – FUNÇÕES

1.1 - Conceito matemático de função

Definição 1: Domínio da função é o conjunto de todos os valores dados para a variável

independente.

Definição 2: Imagem da função é o conjunto de todos os valores correspondentes da variável

dependente.

Como, em geral, trabalhamos com funções numéricas, o domínio e a imagem são conjuntos

numéricos, e podemos definir com mais rigor o que é uma função matemática utilizando a

linguagem da teoria dos conjuntos.

Para isso, temos que definir antes o que é um produto cartesiano e uma relação entre dois

conjuntos.

Definição 3: Produto cartesiano: Dados dois conjuntos não vazios A e B , denomina-se produto

cartesiano (indica-se: A × B ) de A por B o conjunto formado pelos pares ordenados nos quais o

primeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a B .

(Eq.1) A × B ={( x , y )/ x ∈ A e y ∈ B }.

Definição 4: Relação: Dados dois conjuntos A e B , dá-se o nome de relação r de A em B a

qualquer subconjunto de A × B .

(Eq.2) r é relação de A em B ⇔ r ⊂ A × B .

Exemplo:

Sejam os conjuntos A ={0,1,2,3}, B ={0,2,4,6,8,10} e a relação r de A em B , tal que

y =2 x , x ∈ A e y ∈ B . Escrever os elementos dessa relação r .

Como x ∈ A :

x =0 ⇒ y =0 ⇒ (0,0)∈ A × B ;

x =1 ⇒ y =2 ⇒ (1,2)∈ A × B ;

x =2 ⇒ y =4 ⇒ (2,4)∈ A × B ;

x =3 ⇒ y =6 ⇒ (3,6)∈ A × B .

Então, r ={(0,0), (1,2), (2,4), (3,6)}.

0 1 2 3

1 2 3 4 5 6

y

x

7 8 9

10

[Fig.1]: Representação da relação por diagrama. [Fig.2]: Representação da relação por sistema cartesiano.

0

A 0 B

123

2468

10

r

Cálculo Diferencial e Integral

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Obs.: Podemos observar que, numa relação r de A em B , o conjunto r é formado pelos pares

( x , y ) em que o elemento x ∈ A é associado ao elemento y ∈ B mediante uma lei de associação

(no caso, y =2 x ).

1.2 - Definição de função

Definição 5: Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B . Essa

relação f é uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está associado

um e apenas um elemento y do conjunto B .

Nos exercícios a seguir, verifique se as relações representam função de A em B . Juntifique sua

resposta e apresente o diagrama da relação.

Exemplos:

1) Dados os conjuntos A ={0,5,15} e B ={0,5,10,15,20,25}, seja a relação de A em B expressa

pela fórmula y = x +5, com x ∈ A e y ∈ B .

0

A 0 B

5

15

5

10

15

20

25

x =0 ⇒ y =5 ⇒ (0,5)∈ A × B ;

x =5 ⇒ y =10 ⇒ (5,10)∈ A × B ;

x =15 ⇒ y =20 ⇒ (15,20)∈ A × B .

• Todos os elementos de A estão associados a elementos de B .

• A cada elemento de A está associado um único elemento de B .

Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula y = x +5 é uma função de A em B .