3 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

,3 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

Uma medida de tendência central ou de posição de um conjunto de dados mostra o valor em torno do qual se agrupam as observações. As principais medidas de tendência central são a média aritmética, a mediana e a moda.

3.1 Média Aritmética

A média aritmética [pic 1] de um conjunto de n valores [pic 2]é definida por:

[pic 3]

Se [pic 4] ocorrerem com as freqüências [pic 5], respectivamente, a média aritmética será dada pela expressão:

[pic 6]

Caso os dados sejam distribuídos em classes, os valores [pic 7] corresponderão aos pontos médios das k classes. O ponto médio [pic 8] da i-ésima classe pode ser definido como a média aritmética entre os limites inferior (Li) e superior (Ls) da classe i considerada.

3.1.1 Propriedades da Média Aritmética

1. A soma algébrica dos desvios de um conjunto de números, em relação à média aritmética desse conjunto, é zero.
2. A soma dos quadrados dos desvios de um conjunto de números, em relação a um número qualquer a, é um mínimo quando [pic 9] e somente nesse caso.

Exemplos:

1) A média mínima para aprovação em determinada disciplina é 6,0. Se um estudante obtém as notas 7,5; 8,0; 6,0; 2,5; 2,0; 5,5; 4,0 nos trabalhos mensais da disciplina em questão, ele foi ou não aprovado?

2) A seguir, é dada a distribuição da quantidade de defeitos por microcomputador para uma amostra de 100 aparelhos:

Quantidade de defeitos por micro	0	1	2	3	4	5	6
Número de aparelhos	15	28	20	14	10	7	6

Determina o número médio de defeitos por microcomputador.

3) Determine a média da distribuição:

Renda Familiar (milhares de $)	2 ├ 4	4 ├ 6	6 ├ 8	8 ├ 10	10 ├ 12
Número de famílias	5	10	14	8	3

3.2 Mediana

A mediana [pic 10] de um conjunto de valores ordenados [pic 11]é representada pelo valor central do conjunto, ou seja, pelo elemento de ordem [pic 12] para n ímpar ou pela média aritmética dos dois valores de ordem [pic 13] e [pic 14] para n par.

No caso de dados agrupados em classes de freqüências, a mediana [pic 15] pode ser calculada da seguinte forma:

1º) Calcula-se a ordem [pic 16].

2º) Pela freqüência acumulada [pic 17] identifica-se a classe que contém a mediana.

3º) Utiliza-se a fórmula:

[pic 18]

Onde:

[pic 19] limite inferior da classe mediana (classe que contém a mediana);

[pic 20] freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana;

[pic 21]freqüência da classe mediana;

[pic 22] amplitude do intervalo de classe mediana.

Geometricamente, a mediana é o valor da variável que divide o histograma em duas partes de áreas iguais.

Exemplo: Calcule as medianas dos dados apresentados nos exemplos anteriores.

3.3 Moda

A moda de um conjunto de n valores [pic 23]é representada pelo valor que ocorre o maior número de vezes. Um conjunto pode não apresentar moda, como também, a moda poderá não ser única.

No caso de dados agrupados em classes de freqüências, a moda [pic 24] pode ser calculada pela expressão:

[pic 25]

Onde:

[pic 26] limite inferior da classe modal (classe de maior freqüência);

[pic 27] freqüência da classe imediatamente inferior à classe modal;

[pic 28]  freqüência da classe imediatamente superior à classe modal;

[pic 29] amplitude do intervalo da classe modal.

Exemplos:

1) A seguir, temos a distribuição do número de acidentes diários, durante 43 dias, em certa rodovia:

classes	0├ 1	1├ 2	2├ 3	3 ├ 4	4├ 5
Freqüências	3	10	17	8	5

Determine moda.

 2) A distribuição abaixo apresenta as idades de um grupo de pessoas que fizeram parte de uma pesquisa de opinião sobre determinado produto. Determine a moda.

Idade (anos)	Nº de pessoas
10 ├ 14	15
14 ├18	28
18 ├ 22	40
22 ├ 26	30
26 ├ 30	20
30 ├ 34	15
34 ├ 38	10
38 ├ 42	5

3) Determine a moda para as seguintes distribuições:

Classes	80 |- 180	180 |- 250	250 |- 300	300 |- 500
[pic 30]	70	140	140	60

3.4 Quartis

São medidas resumidas que dividem um conjunto de dados, classificados em ordem crescente, em quatro partes iguais. O segundo quartil [pic 31] coincide com a mediana do conjunto de dados. O primeiro quartil representa o valor do termo do meio, entre as observações que são menores que a mediana. Já o terceiro quartil representa o valor do termo do meio, entre as observações que são maiores que a mediana. A figura abaixo descreve a posição dos três quartis: