Teoria das Filas

MODELO DE ATENDENTE ÚNICO

1. A administração de uma grande loja de departamentos está reprojetando o processo de atendimento ao cliente. Acomodar quatro clientes é importante. Os clientes chegam à seção ao ritmo de dois por hora. Qual é probabilidade de quatro clientes chegarão a qualquer hora?

Solução:

Nesse caso λ = 2 clientes por hora e T = 1 hora e n = 4 clientes. A probabilidade de que quatro clientes cheguem a qualquer hora é:

P(4) = [(2(1))4 / 4!] e -2(1) = [(16/24) e -2 = (0,6667) e -2 = (0,6667) 2,7183 -2 = 0,09.

Ponto de Decisão:

 O gerente da seção de atendimento ao cliente pode usar essa informação a fim de determinar as necessidades de espaço para uma mesa e a área de espera. Existe uma probabilidade relativamente pequena de que os quatro clientes cheguem a qualquer hora. Consequentemente, a capacidade para que dois ou três clientes possam sentar-se deve ser mais do que adequada, a não ser que o tempo para atender a cada cliente seja longo. Justifica-se uma análise mais profunda dos tempos de atendimento.

1. A administração de uma loja de departamentos precisa determinar se é necessário mais treinamento para o encarregado de atendimento aos clientes. O encarregado deste serviço pode atender uma média de três clientes por hora. Qual é a probabilidade de que um cliente precise menos de 10 minutos de atendimento?

Solução:

Precisamos ter todos os dados na mesma unidade de tempo. Sendo μ = 3 clientes por hora vamos converter minutos para horas, ou T = 10 minutos = 10/60 = 0,167 horas.  Então:

P (t ≤ 0,167 horas) = 1 – e -3(0,167) = 1 – 0,61 = 0,39.

Ponto de Decisão:

A probabilidade de que o encarregado precise somente de 10 minutos ou menos não é muito elevada, o que abre a possibilidade de os clientes poderem passar por atrasos demorados. A administração deve considerar treinamento adicional para o encarregado, a fim de reduzir o tempo que leva para processar o pedido de um cliente.

1. O gerente de um supermercado na comunidade de aposentados de Sunnyville está interessado em proporcionar um bom atendimento aos idosos que compram em sua loja. Atualmente, a loja possui um caixa separado para idosos. Em média chegam 30 idosos por hora no caixa, e são atendidos a uma média de 35 clientes por hora. Determine as seguintes características operacionais:

1. Probabilidade de zero cliente no sistema; P0 = (1 – ρ)ρ0 = 1 – ρ = 1 – (30/35) = 1-0,86 =0,14.
2. Utilização do Operador de Caixa; ρ = λ / μ = 30/35 = 0,86.
3. Número de clientes no sistema; L = λ / (μ – λ) = 30 / (35 – 30) = 6.
4. Número de clientes na fila;  ρL = (λ / μ) (λ / (μ – λ) = λ2 / μ (μ – λ) = 900/175 = 5,14.
5. Tempo gasto no sistema; 1 / (μ – λ) = 1/5=0,2 x 60 minutos = 12 minutos.
6. Tempo de espera na fila;  ρW =0,86 X 0,2 = 0,1714 X 60 = 10,28 minutos.

O gerente do supermercado do supermercado deseja resposta para as seguintes questões:

1. Que taxa de atendimento seria necessária para que os clientes permanecessem 8 minutos no sistema?

8 minutos equivalem a 8/60 = 0,133 hora

W = 1 / (μ – λ); 0,133 = 1 / (μ – 30); 0,133 μ – 0,133 (30) = 1 –

μ = 37,52 clientes por hora.

1. Para essa taxa de atendimento, qual é a probabilidade de ter mais do que quatro clientes no sistema?

A probabilidade de que existirão mais do que quatro clientes no sistema é igual a 1 menos a probabilidade de que existam quatro ou menos clientes no sistema.

P= 1 – P0 – P1 – P 2 – P3 – P4

[pic 1]

Simplificando a fórmula:

P = 1 – [(1 – p)p0 + (1-p)p1 + (1-p)p2 + (1-p)p3 + (1-p)p4]

P = 1 – [ (1-p) (1 + p + p2 + p3 + p4]

P = 1 – [ 1 + p + p2 + p3 + p4 – p - p2 - p3 - p4 – p5] = 1-1-p- p2 - p3 - p4 + p + p2 + p3 + p4 + p5

P = p5

p5 = (30/37,52)5 = 0,328

[pic 2]

 Efetuando os cálculos sem simplificar a fórmula:

P0 = (1 – 30/37,52) (30/37,52)0 = (1 – 0,8) = 0,2.

P1 = (1 – 30/37,52) (30/37,52) = (1 – 0,8) (0,8) = 0,2 X 0,8 = 0,16.

P2 = (1 – 30/37,52) (30/37,52)2 = 0,2 (0,8)2 = 0,2(0,64) = 0,128.

P3 = 0,2 (0,8)3 = 0,2 (0,512) = 0,1024.

P4 = 0,2 (0,8)4 = 0,2 (0,4096) = 0,08192.

Então: P = 1 – 0,2 – 0,16 – 0,128 – 0,1024 – 0,08192 = 0,328.

Há uma chance próxima de 33% de que mais do que quatro clientes estejam no sistema.

1. Que taxa de atendimento seria necessária para ter somente uma possibilidade de 10% de exceder quatro clientes no sistema?

No item anterior vimos que a probabilidade da existência de mais de quatro clientes no sistema é; P = p5. Então  p5= 0,10.  Então p = 0,10 1/5 = 0,63.

Então, p, ou seja, a utilização média do sistema é 0,63 = 30/μ, sendo μ (taxa de atendimento) = 47,62 clientes por hora.

Ponto de Decisão:

Para que os clientes permaneçam oito minutos no sistema a taxa de atendimento teria que ser aumentada pouco: de 35 para 37,52 clientes por hora. O gerente precisa encontrar uma forma de aumentar o ritmo de atendimento de 35 para aproximadamente 48 clientes por hora para reduzir a possibilidade de exceder quatro clientes no sistema a, no máximo, 10%.

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