Linear à função

Definição

Chama-se função linear à função definida por: (Y=ax+b a<>0; b=0) onde A e B são números reais quaisquer, com a devida restrição em B, isto é, tem que ser igual a zero.

* y é a variável dependente e x a variável independente;

* A é o coeficiente angular

* B é o coeficiente linear, é o valor numérico da ordenada cortada pela recta. Quando b<>0 a função é chamada de afim.

Nota: (1) <> significa diferente! (2) Geralmente os Economistas chamam a qualquer recta da forma y=mx+b uma função linear. No entanto, o conceito puro matemático, diz que uma função é linear se e só se <=> a ordenada na origem for zero. Quando b é diferente de zero, passa-se a chamar função afim.

Função linear é a função matemática que possui as seguintes duas propriedades:

* Aditividade:

;

* Homogeneidade:

.

em suma: =

As funções lineares são funções cujo gráfico é uma recta com ordenada na origem,

isto é, em que b=0

Conceito de função linear |

| Estabelecemos entre R e R (conjunto dos números reais) uma correspondência C, com o seguinte critério: traçamos uma reta pela origem das coordenadas e, de todos os elementos (x,y) do produto R X R, elegemos para a correspondência aqueles cuja imagem gráfica caia sobre a referida reta (Figura 1, ao lado). A correspondência será o conjunto: C = { (x0,y0),

(x1,y1), (x2,y2)...} |

|

| |

| |

|

Observe que para cada elemento x do conjunto horizontal (Figura 1) corresponde um elemento y do conjunto vertical, com a condição de que o par (x,y) tenha sua imagem gráfica sobre uma reta dada. Essa correspondência é biunívoca e o par (0,0) pertence ao conjunto ou função.

Essa função recebe o nome de função linear por causa da reta que seleciona os pares x e y. |

Olhemos para algumas situações de nosso dia a dia:

* determinar a distância percorrida por um carro movendo-se com velocidade constante

* determinar o preço de certa quantidade de cadernos sabendo-se o valor unitário

* determinar o preço de um imóvel em função do CUB (custo de m2 de construção).

Todas estas situações envolvem relações entre duas variáveis x e y, a saber:

* x = tempo e y = distância percorrida em função do tempo

* x = número de cadernos e y = custo total

* x = número de metros quadrados e y = custo total.

Nestes três exemplos a função tem uma propriedade importante:

se o valor da variável independente "x" dobra, o mesmo acontece com o valor da variável dependente "y"; se o valor de "x" triplica, também triplica o valor de "y"; mais geralmente, se a variável "x" é multiplicada por um número natural "n", o mesmo acontece com a variável "y". Em outras palavras: o quociente "y/x" se mantém constante.

O conceito de função linear:

Uma função que estabelece entre x e y uma relação tal que y/x é constante é dita linear.

Expressamos a relação por y = a.x, "a" constante e dizemos que a variação de "y" é diretamente proporcional a variação de "x". |

Vamos mostrar que o gráfico de y = a.x é uma reta, a saber a reta passando por O=(0,0) e A=(1,a).

| | Os pontos O=(0,0) e A=(1,a) estão no gráfico da função, pois suas coordenadas satisfazem a relação y = a.x. Seja P=(x,y) é um outro ponto qualquer neste gráfico.

Os triângulos OPC e OAB são semelhantes porque ambos tem um ângulo reto e y/a = x/1 (lembre-se que y/x = a/1, já que P=(x,y) está no gráfico da função). Segue-se disto que os ângulos POC e AOB são congruentes, e como tem em comum o lado OC segue que P, A e O estão alinhados. Ou seja P está na reta passando por O e A. |

Uma observação importante: nos exemplos apresentados acima as funções são crescentes e as variáveis envolvidas estão em relação de proporcionalidade direta. Vamos olhar para outras situações:

* Função crescente com variáveis que NÃO estão em relação de proporcionalidade direta:

- O crescimento populacional em função do tempo.

A medida que passa o tempo, a população de um país aumenta, mas não em proporcionalidade direta. Observe a tabela abaixo:

ANOS |

POPULAÇÃO (milhões) |

1940 | 40 |

1950 | 50 |

1960 | 70 |

1970 | 93 |

1980 | 119 |

1990 | 150 |

*

* Para intervalos iguais de "anos", temos intervalos cada vez maiores de "população".

* Função decrescente e variáveis em relação de proporcionalidade direta:

-