Álgebra linear

Introdução

Direta ou indiretamente a matéria de Álgebra Linear está entre nós, no nosso dia a dia. Abaixo descrevemos várias aplicações de álgebra linear no nosso cotidiano.

Uma aplicação de Álgebra Linear à Engenharia Civil: o projeto de uma estrutura composta por vigas metálicas exige resolver um sistema de equações lineares; quanto mais complexa for esta estrutura, maior será o número de equações e de variáveis. A matriz dos coeficientes do sistema deve ser invertível para que a estrutura não colapse. Para uma mesma estrutura sujeita a forças externas variáveis, pode-se encontrar a matriz-coluna das forças que atuam sobre as vigas multiplicando-se a inversa da matriz que modela a estrutura metálica pela matriz-coluna das forças externas.Uma aplicação de Álgebra Linear à Engenharia Automobilística: obtenção da frequência natural do eixo traseiro de um automóvel através de métodos numéricos. Na indústria automobilística, hoje em dia, existe uma crescente necessidade de testes em componentes ainda na fase de projeto a fim de prever seu desempenho quando em condições de operação. Fenômenos vibratórios como a ressonância de componentes automotivos em relação às velocidades de rotação do motor e tipos de terreno devem ser levados em consideração, pois podem levar a estrutura a esforços e desgastes excessivos diminuindo sua vida útil ou aumentando o desconforto do usuário. O procedimento experimental utilizado pela indústria para testes sobre o comportamento vibracional envolve um alto custo no desenvolvimento do produto. Assim, é necessária a implantação de métodos numéricos simples e precisos de forma a predizer as frequências naturais dos componentes e a faixa de sua atuação. Para tanto, o Método das Matrizes de Transferência oferece não só rapidez e precisão, como simplicidade e versatilidade.

Uma aplicação de Geometria Analítica e Álgebra Linear à Computação Gráfica: o espaço espectral de cores é um espaço vetorial de dimensão 3 (correspondente às três cores primárias). Diferentes sistemas de coordenadas (conhecidos como sistemas de cores) são considerados neste espaço, de acordo com a aplicação ou o dispositivo de saída gráfica (monitor, impressora, etc.). Émuitas vezes necessário passar de um sistema de coordenadas para outro, e isso é feito através de uma matriz de mudança de coordenadas. Por exemplo, a matriz de mudança de coordenadas do sistema RGB para o sistema XYZ é uma matriz 3x3 obtida quando se considera a cor branca como um ponto fixo da transformação.

Uma aplicação de Álgebra Linear à Engenharia Elétrica: análise de circuitos elétricos sob condição de curto-circuito através de métodos matriciais. A mesma técnica se aplica à análise estrutural de uma ponte apoiada em vários pilares e sujeita a uma carga concentrada.

Nesta ATPS, estaremos apresentando as definições de matrizes e suas classificações. Também estaremos apresentando os tipos de matrizes, retangular, quadrada, linha, coluna, diagonal, escalar, unidade, zero, igualdade de matrizes, matriz transposta, matriz simétrica, matriz antissimétrica, ortogonal, triangular, periódica, idempotente e nilpotente e suas definições.

Estaremos apresentando exemplos de matrizes e um desafio proposto utilizando os métodos de Kirchhoff e Gauss Jordan e outros exemplos para resolver sistema de matrizes.

Etapa 1

Passo 1 até 4 – Matrizes e determinantes

Definição Matrizes:

Chamam-se matrizes um objeto matemático organizado em linhas e colunas, disposto em um quadro. Sendo que cada matriz tem dois índices, onde o primeiro indica a linha e o segundo a coluna a que o elemento pertence. O número de linhas e colunas que uma matriz possui, chama-se dimensão de matriz. Podemos identificar a ordem de uma matriz através do número de linhas e colunas que ela possui, por exemplo, uma matriz que possui 3 linhas e 3 colunas é uma matriz de ordem três. Para que a matriz possa ser classificada desta forma, é necessário que ela possua o mesmo