CALCULO DA GRAVIDADE USANDO UM PÊNDULO SIMPLES

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CALCULO DA GRAVIDADE USANDO UM PÊNDULO SIMPLES^[1]

Lucas Caricimi Gervásio

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Giliade Gadiel Rodrigues

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Licenciatura em Matemática

Resumo:

Um pêndulo simples consiste em uma massa presa a um fio que oscila em torno de um ponto fixo, o fio ou braço do pêndulo executa movimentos de vai e vem em torno de uma posição central, esse movimento do pêndulo envolve uma grandeza chamada período, que é o intervalo de tempo que a massa leva para percorrer toda sua trajetória. Esse artigo visa conseguir relacionar o comprimento do fio que está ligado a massa, o período que a massa demora para seguir sua trajetória e a aceleração da gravidade.

A aceleração da gravidade está convencionada na terra ao nível do mar e à latitude de 45° com um valor de aproximadamente 9,80665 m/s², sabendo que há uma relação entre o pendulo e a aceleração da gravidade podemos através de um experimento chegar a um valor aproximado a esse já convencionado, e esse será o objetivo, deste artigo, com a construção do experimento obtendo o comprimento do fio ligado a massa e a medição do tempo do período do pendulo, juntamente com o ângulo de abertura do arco relacionado a trajetória da massa conseguimos chegar ao valor da gravidade usando as formulas do movimento harmônico simples, da força e do software Scilab, desprezando algumas variáveis que poderiam estar envolvidas, mas que não serão analisadas nesse experimento.

 

Palavras-Chave:

Modelagem Matemática, Pêndulo Simples, Gravidade

Introdução

O estudo das oscilações e do período do pendulo foi desenvolvido por Galileu Galilei. O movimento do pêndulo envolve uma grandeza chamada período (simbolizada por T), essa grandeza é o intervalo de tempo que o objeto leva para percorrer essa trajetória, ou seja o tempo que ele leva para ir e voltar até o ponto inicial, sabendo que o movimento pendular é periódico.

Definindo mecanicamente um pêndulo simples é um instrumento que consiste em um objeto que oscila em torno de um ponto fixo. O braço executa movimentos de vai e vem em torno de um eixo central, chamado posição de equilíbrio, existem algumas aplicações para o pendulo em relação a força peso e movimento oscilatório, além da determinação da aceleração da gravidade.

Este artigo apresenta um experimento e um estudo em relação ao modelo matemático levando em conta um pêndulo simples sem atrito e o objetivo deste experimento é o cálculo da aceleração gravitacional que é, basicamente, a aceleração na qual um corpo de determinada massa fica submetido por algum outro corpo de massa extremamente maior (planeta, lua, estrela – dado o alto valor das massas desses corpos), ao redor da Terra atua uma região conhecida como campo gravitacional, ele tem como principal objetivo atrair todos os corpos para o centro da Terra. Essa atração acontece por meio da influência da força gravitacional.

Sendo assim, a aceleração da gravidade pode ser definida como o aumento gradativo da velocidade, a cada instante de tempo, que um corpo sofre caso estivesse em queda livre (liberado de um ponto mais alto, a partir do repouso). Neste último caso, apesar de ser considerada constante, pode se admitir que a aceleração gravitacional varie conforme o movimento do corpo aconteça.

Qualquer corpo pode sofrer a influência dessa força. Segundo Newton, isso acontece porque o peso do corpo sempre está dirigido para o centro da Terra, quando os corpos chegam ao campo gravitacional, sofrem variação em sua velocidade, porque adquire a aceleração da gravidade, representada pela letra g, essa aceleração está convencionada a um valor aproximado de 9,80665 m/s² ao nível do mar e à latitude de 45º.

Materiais e métodos

Esse trabalho foi realizado da seguinte maneira:

→Coleta de dados:

Para coleta de dados foi construído um pêndulo, utilizando uma base de madeira, uma linha e uma porca amarrada, além de algumas marcações referentes ao ângulo de abertura do arco da trajetória do pendulo, utilizando uma câmera de celular com o equipamento instalado de forma que gravasse o local de inicio e de fim do período, foi filmado 9 vezes utilizando ângulos de 15º, 30º e 45º, e fios de comprimentos, 20, 30 e 40 centímetros. Segue abaixo imagens da estrutura.

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Fonte: Acervo dos autores

Após as filmagens foi utilizado um software para a medição do tempo de cada período correspondente ao ângulo e comprimento como mostra a tabela abaixo.

Ângulo/Comprimento	15º	30º	45º
20 cm	0,913	0,887	0,933
30 cm	1,083	1,160	1,177
45 cm	1,320	1,316	1,319

Fonte: Elaborada pelos autores

→Analise e criação do modelo necessário para a resolução do problema:

Para a criação do modelo matemático precisaríamos de uma equação que relacionasse o pêndulo a gravidade. Para isso saímos do princípio que o pêndulo descreve um Movimento Harmônico Simples (MHS). A equação que descreve o período de um MHS é:

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Onde m é a massa do corpo e k é a constante de força do MHS, que é aquilo que precisamos deduzir.

Para a dedução do k precisamos analisar as forças que agem no sistema.

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Podemos notar no esquema acima a presença de duas forças atuando no sistema, a força peso P e a tensão T, podemos notar que a componente peso é composta em duas partes, como é possível notar que as componentes tensão e o vetor de força  anulam-se. Portanto a força resultante desse sistema é apenas .[pic 7][pic 8]

Como sabemos  , podemos reescrever a equação da força resultante do sistema como          .[pic 9][pic 10]