A Apostila de Algebra

2        Noções sobre relações e funções

Definição 2.1. Dados um conjunto não vazio X e a, b ∈ X, denotamos por (a, b) e denominamos par ordenado cuja primeira componente é a e cuja segunda componente é b ao conjunto {a}, {a, b}}, ou seja, (a, b) {a}, {a, b}}.

Exercícios de fixação

🕔 Pela definição acima, temos (c, d)        .

➁ Pela definição acima, temos (b, a)        .

➂ Qual a condição para que (a, b)     (b, a)?        .

➃ É correto afirmar que (a, a)       {a}}?        .

Proposição 2.2. Temos (a, b)     (c, d) se, e somente se, a     c e b      d.

Demonstração. Mostraremos o caso em que a     b, a prova do outro caso é semelhante.[pic 1]

Supondo (a, b)     (c, d), por 2.1, temos    {a}, {a, b}           {c}, {c, d}  . Em virtude de a      b, obtemos que {a}       {c} e {a, b}       {c, d}.  Da igualdade {a}       {c}, segue que a c e, por conseguinte, da igualdade {a, b} {c, d}, segue que b d.

Supondo a     c e b     d, por 2.1, temos (a, b)      {a}, {a, b}}     {c}, {c, d}}   (c, d).[pic 2]

Definição 2.3. Sejam X e Y conjuntos não vazios. Denotamos por X × Y e denomina- mos produto cartesiano de X por Y ao conjunto X × Y (x, y) : x ∈ X e y ∈ Y }.

Exemplo. Considerando X    {a, b} e Y    {s, t}, temos X × Y       (a, s), (a, t), (b, s), (b, t) .[pic 3][pic 4]

Além disso, Y × X        (s, a), (s, b), (t, a), (t, b)  , X × X        (a, a), (a, b), (b, a), (b, b)        e

Y × Y       (s, s), (s, t), (t, s), (t, t)}.

No que segue, denotaremos um produto cartesiano X × X por X2.

Definição 2.4. Dizemos que um conjunto R é uma relação de X em Y se R   X × Y .

Exemplos.   Considerando  X      {a, b}  e  Y        {s, t},  os  conjuntos  R1      {(a, t)}, R2 {(a, s), (b, t)}, R3 {(b, t), (a, t)} e R4 {(a, s), (a, t), (b, s)} são relações de X em Y . Porém, os conjuntos R5 {(s, b)} e R6 {(a, a), (s, a)} não são relações de X em Y .