Algebra Linear

DESENVOLVIMENTO

ETAPA I= MATRIZES

Hoje em dia a matemática traz informações por meio de linhas e colunas (como uma tabela), assim como as matrizes. As matrizes são um conjunto ordenado de elementos dispostos linhas e colunas como foi dito, existindo várias “ordens”, ou seja, tamanho. O exemplo abaixo mostra uma matriz de ordem2x4 (lê se dois por quatro), ou seja, tem duas linhas e quatro colunas. Neste mesmo exemplo mostra também como uma matriz é organizada em relação às linhas chamadas de “M” e colunas “N”. Os números encontrados dentro dos parênteses são chamados de elementos onde muitas vezes têm de descobri-los e para se fazer isso tem de se usar os índices (aij), onde o primeiro indica a linha e o segundo a coluna e também por meio da “formula” que o problema dará. Por exemplo, o elemento 12 encontra-se na primeira linha e na primeira coluna.

Para que duas matrizes sejam consideradas iguais (chamamos de igualdade de matrizes) devem obedecer duas regras básicas:

-devem possuir a mesma ordem, ou seja, ter o mesmo número de linhas e colunas

-os elementos devem ser iguais os seus correspondentes

EX:

Existe nas matrizes problemas onde se deve descobrir outra matriz, por exemplo, tem a matriz A e B, tem de descobrir a matriz C, e para faze isso tem de usar o método da adição, subtração e multiplicação das matrizes.

Adição: Para ocorrer tem de ter matrizes da mesma ordem e tem de efetuar as operações com os elementos de mesma ordem e seu resultado tem de ser da mesma ordem também. EX:

02

A= + B= =

Subtração: “Mesma regra para adição de matrizes”

Ex:

A = - B = = .

Multiplicação: A multiplicação de duas matrizes acontece se o número de colunas da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita, por exemplo,

A4x2 * B2x3

A1x2 * B2x2

A3x4 * B4x3

Ex:

.

TIPOS DE MATRIZES

Existem vários tipos de matrizes, como por exemplo, matriz linha, coluna, quadrada, retangular e inversa.

-Matriz quadrada: é toda aquela na qual M=N, ou seja, ela possui o mesmo número de linhas e de colunas. Em uma matriz quadrada os elementos em que i=j são considerados parte da diagonal principal e os elementos em que i+j=n-1 são considerados parte da diagonal secundária.

Ex:

03

Matriz Quadrada de ordem 3x3

Existe uma matriz chamada de matriz identidade em que é uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são um e os demais elementos da matriz é zero.

Exemplo:

Matriz quadrada identidade de ordem 3x3

-Matriz Retangular: Quando uma matriz não é quadrada, ela é chamada de retangular, ou seja, M é diferente de N.

Ex:

Diferença entre matriz quadrada e retangular

-Matriz Linha: é toda aquela na qual M=1 Isto é, ela possui apenas uma linha.

- Matriz Coluna é toda aquela na qual n=1 Isto é, ela possui apenas uma coluna.

5 x 1

04

-Matriz inversa: Dada uma matriz quadrada A, a sua inversa será tal que a multiplicação das matrizes resulte na matriz identidade, ou seja, A x A-1=I

Ex: (processo de como se multiplica as matrizes)

Multiplicando-se as matrizes:

O que dá dois sistemas a duas incógnitas cada:

Resolvendo-se, temos:

05

Sendo a matriz inversa de A:

ETAPA II= DETERMINANTES

Determinante é um tipo de matriz, que deverá ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas, chamado de matriz quadrada, ou seja, M=N. A representação do determinante de uma matriz A, será designado por “det A” Existem duas formas para calcular os determinantes, e isso se da pela ordem que se encontra os determinantes

1° forma: Quando a matriz encontra-se na ordem dois. Produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.

Ex:

2x2

2° forma: Quando a matriz encontra-se na ordem três. Usa-se a regra de regra de Sarrus. Essa regra consiste basicamente em escrever a matriz seguida