Linear

AJUSTE LINEAR SIMPLES PELO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

Para ajustar um conjunto de dados de uma Função é preciso estabelecer o tipo de curva e calcular parâmetros dessa curva, assim temos critérios para medida de qualidade de ajustes.

1º critério: Todos os erros devem tender a zero, ou seja, (Ai) [Ri ->0]. Porém, tal critério não é utilizável, ou então cairemos no problema de interpolação.

2º critério: A soma dos erros deve ser tão pequena quando possível. Tal critério também não é utilizável, pois podemos ter uma soma de erros nula sem que o ajuste seja bom.

3º critério: A soma dos erros em valor absoluto deve ser a menor possível.

4º critério: Tschebycheff onde a solução é muito difícil e não recomendada para cálculos manuais.

5 Critério: Nunca teremos uma soma nula (o que seria só na interpolação) e a função ‘quadrada’ é facilmente diferençável. Este é o critério mais largamente usado.

O Método dos Mínimos Quadrados é um método bastante utilizado para ajustar uma determinada quantidade de pontos, a aproximação por mínimos quadrados ocorre numa variedade de aplicações sob diferentes nomes:otimização linear, análise regressão, suavização de dados.

CASO DISCRETO

Sejam dados os pontos (x1, f(x1)), (x2, f(x2)), ..., (xm, f(xm)) e as n funções g1(x),

g2(x), ..., gn(x) escolhidas de alguma forma.

Consideraremos que o número de pontos m, tabelados, é sempre maior ou igual a n

o número de funções escolhidas ou o número de coeficientes ai a se determinar.

Nosso objetivo é encontrar os coeficientes a1, a2, ..., an tais que a função j(x) =

a1g1(x) + a2g2(x) + ... + angn(x) se aproxime ao máximo de f(x).

Seja dk = f(xk) – j(xk) o desvio em xk. Vamos observar que, um conceito de

proximidade é que dk seja mínimo para todo k = 1, 2, ..., m.

O método dos quadrados mínimos consiste em escolher os aj´s de tal forma que a

soma dos quadrados dos desvios seja mínima.

É claro que se a soma é mínima, teremos que cada parcela [f(xk) – j(xk)]2 é pequena, donde cada desvio [f(xk) – j(xk)] é pequeno.

Portanto, dentro do critério dos quadrados mínimos, os coeficientes ak, que fazem

com que j(x) se aproxime ao máximo de f(x), são os que minimizam a função

CASO CONTÍNUO

Sejam então f(x) contínua em um intervalo [a, b] e g1(x) e g2(x) duas funções contínuas em [a, b] que foram escolhidas de alguma forma. É preciso encontrar duas constantes reais a1 e a2 tais que j(x) = a1g1(x) + a2g2(x) esteja o “mais próximo possível” de f(x).

Seguindo o critério dos quadrados mínimos para o conceito de proximidade entre j(x) e f(x), os coeficientes a1 e a2 a serem obtidos deverão ser tais que o valor de seja o menor possível.

Geometricamente, isto significa que a área entre as curvas f(x) e j(x) seja mínima.

Portanto, o problema consiste em obter o mínimo para

ou seja, achar (a1, a2) tal que

podemos escrever o sistema linear acima como

Demonstra-se que, se as funções escolhidas g1(x) e g2(x) forem linearmente

independentes, o determinante da matriz A é diferente de zero, o que implica que o sistema

linear admite única solução (a1,a2) . Ainda mais, demonstra-se também que esta solução

é o ponto em que a função F(a1, a2) atinge seu valor mínimo.

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

Sabemos que o calculo Diferencial e Integral, que se F(x) é função contínua em [a,b], então, estão esta função tem uma primitiva neste intervalo, ou seja, existe F(x) tal que F’(x)=f(x); assim ∫b a f(x) dx= F(b)-F(a). No entanto, pode não ser fácil expressar essa função primitiva por meio de combinação finitas de funções elemntares, como por exemplo, a função f(x)=e ^-x^2, cuja primitiva F(x) que se anula para x=a é chamada de função de Gauss. A idéia básica de integração numérica é a substituição da função f(x) por um polinômio que a aproxime razoalmente no intervalo [a,b], Assim o problema seria resolvido pela integração trivial de polinômios visto nas regras:

FORMULA DE NEWTON-COTES

Nas formulas de Newton-cotes a idéia de polinômio que aproxime f(x) razoavelmente é que este polinômio interpole f(x) em pontos de [a,b] igualmente espaçados. Consideramos a partição do intervalo [a,b] em subintervalos, de comprimento h, [xj,xi,I], i = 0,1,...,n-1. Assim xi+1 –xi=(b-a)/n.

As formulas fechadas de Newton-Cotes são formulas de integração do tipo Xo=a. Xn=b e ∫b a f(x) dx= ∫xn x0 f(x) dx= Ao f(Xo) ¬+ A1 f (x1) +... Na f(Xn)= ∑^n i=0 Ai f (xi), sendo as coeficientes Ai determinados de acordo com o grau do polinômio aproximador.

REGRA DOS TRAPÉZIOS

Consiste em se aproximar o valor da função contínua de f(x) no intervalo [a,b] por uma função de primeira ordem; isto, geometricamente, é equivalente a aproximar uma curva qualquer por uma reta, conforme mostra a Fig. 1. Desta forma, a área sob a função f(x), que é equivalente à integral dessa função, é aproximada pela área do trapézio cuja largura é igual a (b – a) e a altura média igual a [f(a) + f(b)]/2.