SISTEMAS LINEARES

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INTRODUÇÃO

Documentos históricos comprovam que antigas civilizações orientais, como a

babilônia e a chinesa já trabalhavam com equações lineares. No oriente médio os

chineses representavam o sistema linear por meio de bambus em tabuleiros, pelos

quais começaram a perceber um método que eliminaria incógnitas por meio de

operações elementares. Já o interesse dos matemáticos ocidentais pelo tema foi

aprofundado apenas no século XVII, a partir de um artigo do alemão Gottfried W.

Leibniz (1646-1716), um pouco mais ousado estabeleceu a condição de se trabalhar

com um sistema envolvendo três equações e duas incógnitas em termos do

determinante de ordem três formado pelos coeficientes e pelos termos

independentes. Em 1858, o matemático inglês Arthur Cayley (1821-1895)

notabilizou-se ao tratar de sistemas lineares representando em forma de matrizes,

os dados extraídos de sistemas de equações.

Do grego

systema

(sy

significa ‘junto’ e

sta

, ‘permanecer’), sistema, em Matemática,

é o conjunto de equações que devem ser resolvidas ao mesmo tempo, ou seja, os

resultados devem satisfazê-las simultaneamente. O sistema linear é formado por

equações cujas incógnitas são elevadas ao expoente 1.

A aplicação de sistemas lineares é fundamental na resolução de problemas que

envolvem equações com muitas incógnitas. Problemas desse tipo se apresentam,

por exemplo, na distribuição de energia elétrica, no gerenciamento das linhas de

telecomunicações e na logística para transporte de mercadorias em uma região.

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1.Equação Linear

Para que uma equação seja considerada uma equação linear deverá ser escrita da

seguinte forma geral: a 1 x 1 + a 2 x 2 +a 3 x 3 + ... + a n x n = b

Cada elemento dessa equação possui um significado: os elementos a 1 , a 2 , a 3 , ... an

são coeficientes das incógnitas x 1 , x 2 , x 3 , ... , x n e o termo b é o termo independente

(valor numérico da equação linear). O termo b pode assumir qualquer valor real,

caso b assuma valor igual a zero a equação linear será homogênea.

Coeficientes

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 +...+ a n x n = b

incógnita termo independente

Exemplo:

Dado o conjunto solução (0, 1, 2) e a equação linear -2x + y + 5z = 11, para verificar

se é verdadeira essa solução deve-se substituir os valores 0, 1 e 2 nas suas

respectivas incógnitas.

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-2 . 0 + 1 + 5 . 2 = 11

0 + 1 + 10 = 11

11 = 11

como a igualdade é verdadeira, podemos concluir que o conjunto solução (0, 1, 2) é

solução da equação -2x + y + 5z = 11

Notações importantes sobre a equação linear:

• Quando os coeficientes das incógnitas forem todos iguais a zero e o valor

numérico da equação for diferente de zero, essa equação não terá solução.

• Quando os coeficientes das incógnitas forem todos iguais a zero e o valor

numérico da equação for igual a zero, essa equação irá assumir qualquer

valor real no seu conjunto solução.

Exemplo:

Calcule para que valor de m a quadrada ordenada (1,2,-3,5) é solução da equação

3x + 5y – mz + t = 0

Devemos substituir os valores do conjunto solução nas incógnitas da equação:

3 . 1 + 5 . 2 – m . (-3) + 5 = 0

3 + 10 + 3m + 5 = 0

13 + 3m + 5 = 0

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3m + 18 = 0

3m = -18

m = -18 : 3

m = -6

Portanto, para que o conjunto solução (1,2,-3,5) seja solução da equação, m deverá

assumir valor igual a -6.

2.Sistema