Transformação Linear

TRANSFORMAÇÃO LINEAR [Resumo]

1-DEFINIÇÃO- Dados os espaços vetoriais V e W, uma função é uma transformação linear se satisfaz as duas condições:

i) u, vÎV Þ T(u+v) = T(u) + T(v)

ii) kÎR e vÎV Þ T(kv) = kT(v)

Obs.:

Decorre da definição que uma T. L. leva o vetor nulo de V no vetor nulo de W, ou seja, se 0ÎV, então T(0) = 0ÎW. Daí podemos detectar transformações não lineares.

Assim, se T(0) 0, T não é linear.

No entanto o fato de se ter T(0) = 0 não garante que T seja linear.

Por ex. Seja a transformação “translação” definida por T(x; y) = (x+2; y+1).

Vejamos: T(0) = T(0; 0) = (2; 1) (0; 0). O vetor zero não é transformado em zero.

Logo esta transformação não é linear.

2-IMAGEM DE T -

A imagem de é o conjunto dos vetores uÎU tais que há um vetor vÎV, que satisfaz T(v) = u.

Im(T) = {u ÎU | T(v) = u para algum vÎV}

3-NÚCLEO DE T –

É o conjunto dos vetores vÎV tais que T(v) = 0. Notação: Núcleo de T = ker(T)

Assim ker(T) = {vÎV | T(v) = 0}

4-OPERAÇÕES COM T. L. –

Sejam as transf. lineares T: V®W e F: V®W:

4.1-ADIÇÃO- (T+F): V®W tal que (T+F)(v) = T(v)+F(v)

4.2-PRODUTO POR ESCALAR- kT:V®W é tal que (kT)(v) = k[T(v)]

4.3-EXERCÍCIO - Dadas F(x, y, z) = (2x, y+z) e G(x, y, z) = (7x – z, y +4z). Calcular: a) F+G e b)3F – 5G.

5-COMPOSIÇÃO DE T. L.-

Dadas as transformações lineares

F: V®W e G: W®U, então (GoF):V®W é sua composta definida por: (GoF)(v) = G(F(v)).

Ex.: Dadas as T.L. R:(x, y, z) = (x, y+z) e S:(x, y) = (3x, x – y), tem-se:

SoR(x, y, z) = S(R(x, y, z)= S(x, y+z)= (3x, x-(y+z) = (3x, x-y-z)

6-TRANSFORMAÇÕES LINEARES DO PLANO NO PLANO.

1-Toda transformação linear pode ser associada a matriz , onde:

Assim, T(x, y) = (ax + by, cx + dy).

7-SIMETRIAS-

7.1-Em torno do eixo x- / T(x, y) = (x, -y).

Em forma matricial: Geometricamente:

7.2-Em relação ao eixo y- / T(x, y) = (-x, y).

7.3-Em relação à origem- / T(x, y) = (-x, -y).

8-DILATAÇÃO E CONTRAÇÃO- , aÎR / T(v) = a .v

T(x, y) = (ax, ay) = a(x, y) Ou:

8.1-Contração - se 0 < a < 1 i)Contração na direção x. T(x, y) = (ax, y)

=

8.2-Dilatação – se a > 1 i)Dilatação na direção y- T(x, y) = (x, ay)