ÁLGEBRA LINEAR

Etapa 03

 Tema: Sistemas de Equações Lineares.

PASSO 2: DEFINIÇÕES

Qualquer reta no plano xy pode descrever-se algebricamente através de uma equação da forma a1x + a2 y = b, Onde a1, a2, b são constantes reais e a1, a2 não são simultaneamente nulos. Uma equação desta forma diz-se uma equação linear nas variáveis x e y. Mais geralmente, uma equação linear nas n variáveis x1,…, xn é uma equação da forma. (1) a1 x1 +…+ anxn = b, Onde a1 ,…, an, b são constantes reais e a1,…, an não são simultaneamente nulos. As variáveis x1,…, xn também se designam por incógnitas. Quando n = 2 e n= 3 é costume usar as variáveis x, y em vez de x1, x2 e x, y, z em vez de x1, x2, x3.

Exemplo 1

As equações:

x + 3y = 7, y= ½ + √3z + 1 e x1 – 2x2 – 3x3 + x4 = 7

São lineares, enquanto que as equações:

x + 3√y = 5, 3x + 2y – z + xz = 4 e y = sin x

Não são lineares. Uma solução particular de (1) é uma sequência de n números reais (s1,…, sn) tal que a1s1 + … + ansn = b. O conjunto de todas as soluções particulares diz-se o conjunto solução ou a solução geral de (1).

Exemplo 2

Consideremos a equação linear x + 2y = 1. Para determinar a sua solução geral podemos atribuir um valor arbitrário a x e resolver a equação em ordem a y, ou atribuir um valor arbitrário a y e resolver a equação em ordem a x. Se efetuarmos o primeiro procedimento e atribuirmos a x o valor arbitrário t , obtemos y = .

As fórmulas:

x = t

y =

Determinam todas as soluções da equação em função do parâmetro t. Se atribuirmos valores a t obteremos soluções particulares. Por exemplo, se t = 3 temos a solução (x, y) = (3, -1) e se t= ½ temos a solução (x, y) = ( , ). Se efetuarmos o segundo procedimento e atribuirmos a y o valor arbitrário s € R Números Reais obtemos x = 1 - 2s. As fórmulas:

x= 1 – 2s

y= s

Determinam todas as soluções da equação em função do parâmetro s. Apesar das fórmulas obtidas nos dois procedimentos serem diferentes, ambos os conjuntos solução são iguais quando t e s variam em . Por exemplo, a solução (x,y) = (3,-1), obtida no primeiro procedimento com t = 3, obtém-se no segundo procedimento fazendo s = -1. Um sistema de equações lineares (SEL) é um conjunto finito de equações lineares nas n variáveis x1,…,xn. Qualquer SEL com m equações e n incógnitas (SEL m×n) pode escrever-se na forma:

Onde os a’s e b’s denotam constantes reais e os a’s não são simultaneamente nulos. Se b1 = b2 = … = bm = 0, o SEL diz-se homogêneo. Uma solução particular de (2) é uma sequência de n números reais (s1,…,sn) que é solução particular das m equações do sistema de equações lineares. O conjunto de todas as soluções particulares de (2) diz-se o conjunto solução ou a solução geral do sistema de equações lineares. Exemplo 4. Consideremos o sistema de equações lineares 2 × 3

4x – y – 3z = 1 3x + y + 9z = -4 A sequência (x, y, z) = (1,2,-1) é uma solução particular do SEL pois estes valores satisfazem simultaneamente as duas equações. A sequência (x,y,z) = (1,8,1) não é uma solução particular do SEL pois só satisfaz a primeira equação. Exemplo 5. Consideremos a forma geral de um SEL 2 × 2 a11x + a12 = b1 a21x + a22 = b2 Geometricamente, sabemos que as equações do SEL descrevem algebricamente duas retas no plano xy, as quais denotaram por r1 e r2. Como um ponto (x,y) pertence a uma reta se e só se satisfaz a equação da reta, a solução geral do SEL acima é o conjunto dos pontos onde r1 e r2 se intersectam. Temos então três casos possíveis:  r1 e r2 intersectam-se num ponto: o SEL tem solução única;  r1 e r2 são coincidentes: o SEL tem infinitas soluções;  r1 e r2 não se intersectam: o SEL não tem soluções. O exemplo anterior mostra que qualquer SEL 2 × 2 satisfaz uma de três hipóteses. No caso (1) o SEL diz-se possível e determinado, no caso (2) o SEL diz-se possível e indeterminado e no caso (3) o SEL diz-se impossível. Em geral, veremos que este resultado se estende a qualquer SEL m × n. CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Comecemos por notar que qualquer SEL m × n da forma (2) pode reescrever-se como a equação matricial Ax = b, onde: a11 a12 ... a1n A= a21 a22 ... a2n . . . . am1 am2 amn

é uma matriz m × n